Resolver frac{2(sqrt{3}+sqrt{2})}{4-sqrt{6}}*frac{9-sqrt{6}}{4-sqrt{6}}

$$\frac { 2 ( \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } ) } { 4 - \sqrt { 6 } } \cdot \frac { 9 - \sqrt { 6 } } { 4 - \sqrt { 6 } }$$

Avaliar

$$5\sqrt{3}+6\sqrt{2}\approx 17,145535412$$

Passos Para a Resolução

Racionalize o denominador de \frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{4-\sqrt{6}} ao multiplicar o numerador e o denominador por 4+\sqrt{6}.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{\left(4-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}\times \frac{9-\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}}$$

Considere \left(4-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right). A multiplicação pode ser transformada na diferença dos quadrados através da regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{6}\right)^{2}}\times \frac{9-\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}}$$

Calcule o quadrado de 4. Calcule o quadrado de \sqrt{6}.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{16-6}\times \frac{9-\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}}$$

Subtraia 6 de 16 para obter 10.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{10}\times \frac{9-\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}}$$

Racionalize o denominador de \frac{9-\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}} ao multiplicar o numerador e o denominador por 4+\sqrt{6}.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{10}\times \frac{\left(9-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{\left(4-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}$$

Considere \left(4-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right). A multiplicação pode ser transformada na diferença dos quadrados através da regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{10}\times \frac{\left(9-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{6}\right)^{2}}$$

Calcule o quadrado de 4. Calcule o quadrado de \sqrt{6}.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{10}\times \frac{\left(9-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{16-6}$$

Subtraia 6 de 16 para obter 10.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{10}\times \frac{\left(9-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{10}$$

Multiplique \frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{10} vezes \frac{\left(9-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{10} ao multiplicar o numerador vezes o numerador e o denominador vezes o denominador.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)\left(9-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{10\times 10}$$

Anule 2 no numerador e no denominador.

$$\frac{\left(\sqrt{6}+4\right)\left(\sqrt{6}+4\right)\left(-\sqrt{6}+9\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{5\times 10}$$

Multiplique \sqrt{6}+4 e \sqrt{6}+4 para obter \left(\sqrt{6}+4\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{6}+4\right)^{2}\left(-\sqrt{6}+9\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{5\times 10}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(\sqrt{6}+4\right)^{2}.

$$\frac{\left(\left(\sqrt{6}\right)^{2}+8\sqrt{6}+16\right)\left(-\sqrt{6}+9\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{5\times 10}$$

O quadrado de \sqrt{6} é 6.

$$\frac{\left(6+8\sqrt{6}+16\right)\left(-\sqrt{6}+9\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{5\times 10}$$

Some 6 e 16 para obter 22.

$$\frac{\left(22+8\sqrt{6}\right)\left(-\sqrt{6}+9\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{5\times 10}$$

Multiplique 5 e 10 para obter 50.

$$\frac{\left(22+8\sqrt{6}\right)\left(-\sqrt{6}+9\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{50}$$

Aplique a propriedade distributiva ao multiplicar cada termo de 22+8\sqrt{6} por cada termo de -\sqrt{6}+9.

$$\frac{\left(-22\sqrt{6}+198-8\left(\sqrt{6}\right)^{2}+72\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{50}$$

O quadrado de \sqrt{6} é 6.

$$\frac{\left(-22\sqrt{6}+198-8\times 6+72\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{50}$$

Multiplique -8 e 6 para obter -48.

$$\frac{\left(-22\sqrt{6}+198-48+72\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{50}$$

Subtraia 48 de 198 para obter 150.

$$\frac{\left(-22\sqrt{6}+150+72\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{50}$$

Combine -22\sqrt{6} e 72\sqrt{6} para obter 50\sqrt{6}.

$$\frac{\left(50\sqrt{6}+150\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{50}$$

Aplique a propriedade distributiva ao multiplicar cada termo de 50\sqrt{6}+150 por cada termo de \sqrt{2}+\sqrt{3}.

$$\frac{50\sqrt{6}\sqrt{2}+50\sqrt{6}\sqrt{3}+150\sqrt{2}+150\sqrt{3}}{50}$$

Fatorize a expressão 6=2\times 3. Reescreva a raiz quadrada do produto \sqrt{2\times 3} à medida que o produto das raízes quadradas \sqrt{2}\sqrt{3}.

$$\frac{50\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{2}+50\sqrt{6}\sqrt{3}+150\sqrt{2}+150\sqrt{3}}{50}$$

Multiplique \sqrt{2} e \sqrt{2} para obter 2.

$$\frac{50\times 2\sqrt{3}+50\sqrt{6}\sqrt{3}+150\sqrt{2}+150\sqrt{3}}{50}$$

Multiplique 50 e 2 para obter 100.

$$\frac{100\sqrt{3}+50\sqrt{6}\sqrt{3}+150\sqrt{2}+150\sqrt{3}}{50}$$

Fatorize a expressão 6=3\times 2. Reescreva a raiz quadrada do produto \sqrt{3\times 2} à medida que o produto das raízes quadradas \sqrt{3}\sqrt{2}.

$$\frac{100\sqrt{3}+50\sqrt{3}\sqrt{2}\sqrt{3}+150\sqrt{2}+150\sqrt{3}}{50}$$

Multiplique \sqrt{3} e \sqrt{3} para obter 3.

$$\frac{100\sqrt{3}+50\times 3\sqrt{2}+150\sqrt{2}+150\sqrt{3}}{50}$$

Multiplique 50 e 3 para obter 150.

$$\frac{100\sqrt{3}+150\sqrt{2}+150\sqrt{2}+150\sqrt{3}}{50}$$

Combine 150\sqrt{2} e 150\sqrt{2} para obter 300\sqrt{2}.

$$\frac{100\sqrt{3}+300\sqrt{2}+150\sqrt{3}}{50}$$

Combine 100\sqrt{3} e 150\sqrt{3} para obter 250\sqrt{3}.

$$\frac{250\sqrt{3}+300\sqrt{2}}{50}$$

Divida cada termo de 250\sqrt{3}+300\sqrt{2} por 50 para obter 5\sqrt{3}+6\sqrt{2}.

$$5\sqrt{3}+6\sqrt{2}$$

Fatorizar

$$5 \sqrt{3} + 6 \sqrt{2} = 17,145535412$$