Resolver 2/x^2-3x+2+1/x^2+3x+2=4/x^2-4

$$\frac { 2 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 3 x + 2 } = \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 }$$

Resolva para x

$$x=5$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,-1,1,2, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), o mínimo múltiplo comum de x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4.

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+2 por x+1 e combinar termos semelhantes.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x^{2}+3x+2 por 2.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-2 por x-1 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Combine 2x^{2} e x^{2} para obter 3x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Combine 6x e -3x para obter 3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Some 4 e 2 para obter 6.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x^{2}-1 por 4.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

Subtraia 4x^{2} de ambos os lados.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

Combine 3x^{2} e -4x^{2} para obter -x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

Adicionar 4 em ambos os lados.

$$-x^{2}+3x+6+4=0$$

Some 6 e 4 para obter 10.

$$-x^{2}+3x+10=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -x^{2}+ax+bx+10. Para localizar a e b, configure um sistema para ser resolvido.

$$a+b=3 ab=-10=-10$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -10.

$$-1,10 -2,5$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

A solução é o par que devolve a soma 3.

$$a=5 b=-2$$

Reescreva -x^{2}+3x+10 como \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right)$$

Decomponha -x no primeiro grupo e -2 no segundo.

$$-x\left(x-5\right)-2\left(x-5\right)$$

Decomponha o termo comum x-5 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-5\right)\left(-x-2\right)$$

Para localizar soluções de equação, solucione x-5=0 e -x-2=0.

$$x=5 x=-2$$

A variável x não pode de ser igual a -2.

$$x=5$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,-1,1,2, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), o mínimo múltiplo comum de x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4.

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+2 por x+1 e combinar termos semelhantes.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x^{2}+3x+2 por 2.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-2 por x-1 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Combine 2x^{2} e x^{2} para obter 3x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Combine 6x e -3x para obter 3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Some 4 e 2 para obter 6.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x^{2}-1 por 4.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

Subtraia 4x^{2} de ambos os lados.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

Combine 3x^{2} e -4x^{2} para obter -x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

Adicionar 4 em ambos os lados.

$$-x^{2}+3x+6+4=0$$

Some 6 e 4 para obter 10.

$$-x^{2}+3x+10=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -1 por a, 3 por b e 10 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule o quadrado de 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique -4 vezes -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 4 vezes 10.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2\left(-1\right)}$$

Some 9 com 40.

$$x=\frac{-3±\sqrt{49}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 49.

$$x=\frac{-3±7}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 2 vezes -1.

$$x=\frac{-3±7}{-2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-3±7}{-2} quando ± for uma adição. Some -3 com 7.

$$x=\frac{4}{-2}$$

Divida 4 por -2.

$$x=-2$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-3±7}{-2} quando ± for uma subtração. Subtraia 7 de -3.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Divida -10 por -2.

$$x=5$$

A equação está resolvida.

$$x=-2 x=5$$

A variável x não pode de ser igual a -2.

$$x=5$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,-1,1,2, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), o mínimo múltiplo comum de x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4.

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+2 por x+1 e combinar termos semelhantes.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x^{2}+3x+2 por 2.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-2 por x-1 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Combine 2x^{2} e x^{2} para obter 3x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Combine 6x e -3x para obter 3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Some 4 e 2 para obter 6.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x^{2}-1 por 4.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

Subtraia 4x^{2} de ambos os lados.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

Combine 3x^{2} e -4x^{2} para obter -x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

Subtraia 6 de ambos os lados.

$$-x^{2}+3x=-4-6$$

Subtraia 6 de -4 para obter -10.

$$-x^{2}+3x=-10$$

Divida ambos os lados por -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{10}{-1}$$

Dividir por -1 anula a multiplicação por -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{10}{-1}$$

Divida 3 por -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{10}{-1}$$

Divida -10 por -1.

$$x^{2}-3x=10$$

Divida -3, o coeficiente do termo x, por 2 para obter -\frac{3}{2}. Em seguida, some o quadrado de -\frac{3}{2} a ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{3}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Some 10 com \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Fatorize x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Some \frac{3}{2} a ambos os lados da equação.

$$x=5 x=-2$$

A variável x não pode de ser igual a -2.

$$x=5$$