Resolver frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}

$$\frac { 2 + \sqrt { 5 } } { 2 - \sqrt { 5 } }$$

Avaliar

$$-4\sqrt{5}-9\approx -17,94427191$$

Passos Para a Resolução

Racionalize o denominador de \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} ao multiplicar o numerador e o denominador por 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}$$

Considere \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). A multiplicação pode ser transformada na diferença dos quadrados através da regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Calcule o quadrado de 2. Calcule o quadrado de \sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}$$

Subtraia 5 de 4 para obter -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}$$

Multiplique 2+\sqrt{5} e 2+\sqrt{5} para obter \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

O quadrado de \sqrt{5} é 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}$$

Some 4 e 5 para obter 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}$$

Qualquer número dividido por -1 dá o seu oposto. Para calcular o oposto de 9+4\sqrt{5}, calcule o oposto de cada termo.

$$-9-4\sqrt{5}$$