Resolver 168/x-168/x+14=1

$$\frac { 168 } { x } - \frac { 168 } { x + 14 } = 1$$

Resolva para x

$$x=-56$$

$$x=42$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -14,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por x\left(x+14\right), o mínimo múltiplo comum de x,x+14.

$$\left(x+14\right)\times 168-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+14 por 168.

$$168x+2352-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x por x+14.

$$168x+2352-x\times 168=x^{2}+14x$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}=14x$$

Subtraia 14x de ambos os lados.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}-14x=0$$

Combine 168x e -14x para obter 154x.

$$154x+2352-x\times 168-x^{2}=0$$

Multiplique -1 e 168 para obter -168.

$$154x+2352-168x-x^{2}=0$$

Combine 154x e -168x para obter -14x.

$$-14x+2352-x^{2}=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-x^{2}-14x+2352=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -x^{2}+ax+bx+2352. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-14 ab=-2352=-2352$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -2352.

$$1,-2352 2,-1176 3,-784 4,-588 6,-392 7,-336 8,-294 12,-196 14,-168 16,-147 21,-112 24,-98 28,-84 42,-56 48,-49$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-2352=-2351 2-1176=-1174 3-784=-781 4-588=-584 6-392=-386 7-336=-329 8-294=-286 12-196=-184 14-168=-154 16-147=-131 21-112=-91 24-98=-74 28-84=-56 42-56=-14 48-49=-1$$

A solução é o par que devolve a soma -14.

$$a=42 b=-56$$

Reescreva -x^{2}-14x+2352 como \left(-x^{2}+42x\right)+\left(-56x+2352\right).

$$\left(-x^{2}+42x\right)+\left(-56x+2352\right)$$

Fator out x no primeiro e 56 no segundo grupo.

$$x\left(-x+42\right)+56\left(-x+42\right)$$

Decomponha o termo comum -x+42 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(-x+42\right)\left(x+56\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva -x+42=0 e x+56=0.

$$x=42 x=-56$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -14,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por x\left(x+14\right), o mínimo múltiplo comum de x,x+14.

$$\left(x+14\right)\times 168-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+14 por 168.

$$168x+2352-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x por x+14.

$$168x+2352-x\times 168=x^{2}+14x$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}=14x$$

Subtraia 14x de ambos os lados.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}-14x=0$$

Combine 168x e -14x para obter 154x.

$$154x+2352-x\times 168-x^{2}=0$$

Multiplique -1 e 168 para obter -168.

$$154x+2352-168x-x^{2}=0$$

Combine 154x e -168x para obter -14x.

$$-14x+2352-x^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-x^{2}-14x+2352=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -1 por a, -14 por b e 2352 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 2352}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule o quadrado de -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\left(-1\right)\times 2352}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique -4 vezes -1.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+4\times 2352}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 4 vezes 2352.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+9408}}{2\left(-1\right)}$$

Some 196 com 9408.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{9604}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 9604.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±98}{2\left(-1\right)}$$

O oposto de -14 é 14.

$$x=\frac{14±98}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 2 vezes -1.

$$x=\frac{14±98}{-2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{14±98}{-2} quando ± for uma adição. Some 14 com 98.

$$x=\frac{112}{-2}$$

Divida 112 por -2.

$$x=-56$$

Agora, resolva a equação x=\frac{14±98}{-2} quando ± for uma subtração. Subtraia 98 de 14.

$$x=-\frac{84}{-2}$$

Divida -84 por -2.

$$x=42$$

A equação está resolvida.

$$x=-56 x=42$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -14,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por x\left(x+14\right), o mínimo múltiplo comum de x,x+14.

$$\left(x+14\right)\times 168-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+14 por 168.

$$168x+2352-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x por x+14.

$$168x+2352-x\times 168=x^{2}+14x$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}=14x$$

Subtraia 14x de ambos os lados.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}-14x=0$$

Combine 168x e -14x para obter 154x.

$$154x+2352-x\times 168-x^{2}=0$$

Subtraia 2352 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$154x-x\times 168-x^{2}=-2352$$

Multiplique -1 e 168 para obter -168.

$$154x-168x-x^{2}=-2352$$

Combine 154x e -168x para obter -14x.

$$-14x-x^{2}=-2352$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-14x=-2352$$

Divida ambos os lados por -1.

$$\frac{-x^{2}-14x}{-1}=-\frac{2352}{-1}$$

Dividir por -1 anula a multiplicação por -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{-1}\right)x=-\frac{2352}{-1}$$

Divida -14 por -1.

$$x^{2}+14x=-\frac{2352}{-1}$$

Divida -2352 por -1.

$$x^{2}+14x=2352$$

Divida 14, o coeficiente do termo x, 2 para obter 7. Em seguida, adicione o quadrado de 7 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+14x+7^{2}=2352+7^{2}$$

Calcule o quadrado de 7.

$$x^{2}+14x+49=2352+49$$

Some 2352 com 49.

$$x^{2}+14x+49=2401$$

Fatorize x^{2}+14x+49. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=2401$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{2401}$$

Simplifique.

$$x+7=49 x+7=-49$$

Subtraia 7 de ambos os lados da equação.

$$x=42 x=-56$$