Resolver 140/x-1-144/x=2

$$\frac { 140 } { x - 1 } - \frac { 144 } { x } = 2$$

Resolva para x

$$x=-9$$

$$x=8$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores 0,1, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por x\left(x-1\right), o mínimo múltiplo comum de x-1,x.

$$x\times 140-\left(x-1\right)\times 144=2x\left(x-1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-1 por 144.

$$x\times 140-\left(144x-144\right)=2x\left(x-1\right)$$

Para calcular o oposto de 144x-144, calcule o oposto de cada termo.

$$x\times 140-144x+144=2x\left(x-1\right)$$

Combine x\times 140 e -144x para obter -4x.

$$-4x+144=2x\left(x-1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2x por x-1.

$$-4x+144=2x^{2}-2x$$

Subtraia 2x^{2} de ambos os lados.

$$-4x+144-2x^{2}=-2x$$

Adicionar 2x em ambos os lados.

$$-4x+144-2x^{2}+2x=0$$

Combine -4x e 2x para obter -2x.

$$-2x+144-2x^{2}=0$$

Divida ambos os lados por 2.

$$-x+72-x^{2}=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-x^{2}-x+72=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -x^{2}+ax+bx+72. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-1 ab=-72=-72$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -72.

$$1,-72 2,-36 3,-24 4,-18 6,-12 8,-9$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-72=-71 2-36=-34 3-24=-21 4-18=-14 6-12=-6 8-9=-1$$

A solução é o par que devolve a soma -1.

$$a=8 b=-9$$

Reescreva -x^{2}-x+72 como \left(-x^{2}+8x\right)+\left(-9x+72\right).

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(-9x+72\right)$$

Fator out x no primeiro e 9 no segundo grupo.

$$x\left(-x+8\right)+9\left(-x+8\right)$$

Decomponha o termo comum -x+8 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(-x+8\right)\left(x+9\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva -x+8=0 e x+9=0.

$$x=8 x=-9$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores 0,1, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por x\left(x-1\right), o mínimo múltiplo comum de x-1,x.

$$x\times 140-\left(x-1\right)\times 144=2x\left(x-1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-1 por 144.

$$x\times 140-\left(144x-144\right)=2x\left(x-1\right)$$

Para calcular o oposto de 144x-144, calcule o oposto de cada termo.

$$x\times 140-144x+144=2x\left(x-1\right)$$

Combine x\times 140 e -144x para obter -4x.

$$-4x+144=2x\left(x-1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2x por x-1.

$$-4x+144=2x^{2}-2x$$

Subtraia 2x^{2} de ambos os lados.

$$-4x+144-2x^{2}=-2x$$

Adicionar 2x em ambos os lados.

$$-4x+144-2x^{2}+2x=0$$

Combine -4x e 2x para obter -2x.

$$-2x+144-2x^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-2x^{2}-2x+144=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -2 por a, -2 por b e 144 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)\times 144}}{2\left(-2\right)}$$

Calcule o quadrado de -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)\times 144}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplique -4 vezes -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8\times 144}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplique 8 vezes 144.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+1152}}{2\left(-2\right)}$$

Some 4 com 1152.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{1156}}{2\left(-2\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 1156.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±34}{2\left(-2\right)}$$

O oposto de -2 é 2.

$$x=\frac{2±34}{2\left(-2\right)}$$

Multiplique 2 vezes -2.

$$x=\frac{2±34}{-4}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{2±34}{-4} quando ± for uma adição. Some 2 com 34.

$$x=\frac{36}{-4}$$

Divida 36 por -4.

$$x=-9$$

Agora, resolva a equação x=\frac{2±34}{-4} quando ± for uma subtração. Subtraia 34 de 2.

$$x=-\frac{32}{-4}$$

Divida -32 por -4.

$$x=8$$

A equação está resolvida.

$$x=-9 x=8$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores 0,1, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por x\left(x-1\right), o mínimo múltiplo comum de x-1,x.

$$x\times 140-\left(x-1\right)\times 144=2x\left(x-1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-1 por 144.

$$x\times 140-\left(144x-144\right)=2x\left(x-1\right)$$

Para calcular o oposto de 144x-144, calcule o oposto de cada termo.

$$x\times 140-144x+144=2x\left(x-1\right)$$

Combine x\times 140 e -144x para obter -4x.

$$-4x+144=2x\left(x-1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2x por x-1.

$$-4x+144=2x^{2}-2x$$

Subtraia 2x^{2} de ambos os lados.

$$-4x+144-2x^{2}=-2x$$

Adicionar 2x em ambos os lados.

$$-4x+144-2x^{2}+2x=0$$

Combine -4x e 2x para obter -2x.

$$-2x+144-2x^{2}=0$$

Subtraia 144 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$-2x-2x^{2}=-144$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}-2x=-144$$

Divida ambos os lados por -2.

$$\frac{-2x^{2}-2x}{-2}=-\frac{144}{-2}$$

Dividir por -2 anula a multiplicação por -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-2}\right)x=-\frac{144}{-2}$$

Divida -2 por -2.

$$x^{2}+x=-\frac{144}{-2}$$

Divida -144 por -2.

$$x^{2}+x=72$$

Divida 1, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{1}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{1}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=72+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{1}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=72+\frac{1}{4}$$

Some 72 com \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{289}{4}$$

Fatorize x^{2}+x+\frac{1}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{17}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{17}{2}$$

Subtraia \frac{1}{2} de ambos os lados da equação.

$$x=8 x=-9$$