Resolver 1/x-1+1/x-4=5/4

$$\frac { 1 } { x - 1 } + \frac { 1 } { x - 4 } = \frac { 5 } { 4 }$$

Resolva para x

$$x=5$$

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1,6$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores 1,4, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 4\left(x-4\right)\left(x-1\right), o mínimo múltiplo comum de x-1,x-4,4.

$$4x-16+4x-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Combine 4x e 4x para obter 8x.

$$8x-16-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Subtraia 4 de -16 para obter -20.

$$8x-20=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 5 por x-4.

$$8x-20=\left(5x-20\right)\left(x-1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 5x-20 por x-1 e combinar termos semelhantes.

$$8x-20=5x^{2}-25x+20$$

Subtraia 5x^{2} de ambos os lados.

$$8x-20-5x^{2}=-25x+20$$

Adicionar 25x em ambos os lados.

$$8x-20-5x^{2}+25x=20$$

Combine 8x e 25x para obter 33x.

$$33x-20-5x^{2}=20$$

Subtraia 20 de ambos os lados.

$$33x-20-5x^{2}-20=0$$

Subtraia 20 de -20 para obter -40.

$$33x-40-5x^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-5x^{2}+33x-40=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -5 por a, 33 por b e -40 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\left(-5\right)\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Calcule o quadrado de 33.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\left(-5\right)\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplique -4 vezes -5.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+20\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplique 20 vezes -40.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\left(-5\right)}$$

Some 1089 com -800.

$$x=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\left(-5\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 289.

$$x=\frac{-33±17}{2\left(-5\right)}$$

Multiplique 2 vezes -5.

$$x=\frac{-33±17}{-10}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-33±17}{-10} quando ± for uma adição. Some -33 com 17.

$$x=-\frac{16}{-10}$$

Reduza a fração \frac{-16}{-10} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=\frac{8}{5}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-33±17}{-10} quando ± for uma subtração. Subtraia 17 de -33.

$$x=-\frac{50}{-10}$$

Divida -50 por -10.

$$x=5$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{8}{5} x=5$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores 1,4, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 4\left(x-4\right)\left(x-1\right), o mínimo múltiplo comum de x-1,x-4,4.

$$4x-16+4x-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Combine 4x e 4x para obter 8x.

$$8x-16-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Subtraia 4 de -16 para obter -20.

$$8x-20=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 5 por x-4.

$$8x-20=\left(5x-20\right)\left(x-1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 5x-20 por x-1 e combinar termos semelhantes.

$$8x-20=5x^{2}-25x+20$$

Subtraia 5x^{2} de ambos os lados.

$$8x-20-5x^{2}=-25x+20$$

Adicionar 25x em ambos os lados.

$$8x-20-5x^{2}+25x=20$$

Combine 8x e 25x para obter 33x.

$$33x-20-5x^{2}=20$$

Adicionar 20 em ambos os lados.

$$33x-5x^{2}=20+20$$

Some 20 e 20 para obter 40.

$$33x-5x^{2}=40$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+33x=40$$

Divida ambos os lados por -5.

$$\frac{-5x^{2}+33x}{-5}=\frac{40}{-5}$$

Dividir por -5 anula a multiplicação por -5.

$$x^{2}+\frac{33}{-5}x=\frac{40}{-5}$$

Divida 33 por -5.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=\frac{40}{-5}$$

Divida 40 por -5.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=-8$$

Divida -\frac{33}{5}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{33}{10}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{33}{10} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{33}{10}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=-8+\frac{1089}{100}$$

Some -8 com \frac{1089}{100}.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=\frac{289}{100}$$

Fatorize x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}=\frac{289}{100}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{100}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{33}{10}=\frac{17}{10} x-\frac{33}{10}=-\frac{17}{10}$$

Some \frac{33}{10} a ambos os lados da equação.

$$x=5 x=\frac{8}{5}$$