Resolver 1/x+4/x+1+1=15/x

$$\frac { 1 } { x } + \frac { 4 } { x + 1 } + 1 = \frac { 15 } { x }$$

Resolva para x

$$x = \frac{\sqrt{137} + 9}{2} \approx 10,352349955$$

$$x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}\approx -1,352349955$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -1,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por x\left(x+1\right), o mínimo múltiplo comum de x,x+1.

$$x+1+x\times 4+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Combine x e x\times 4 para obter 5x.

$$5x+1+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x por x+1.

$$5x+1+x^{2}+x=\left(x+1\right)\times 15$$

Combine 5x e x para obter 6x.

$$6x+1+x^{2}=\left(x+1\right)\times 15$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+1 por 15.

$$6x+1+x^{2}=15x+15$$

Subtraia 15x de ambos os lados.

$$6x+1+x^{2}-15x=15$$

Combine 6x e -15x para obter -9x.

$$-9x+1+x^{2}=15$$

Subtraia 15 de ambos os lados.

$$-9x+1+x^{2}-15=0$$

Subtraia 15 de 1 para obter -14.

$$-9x-14+x^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$x^{2}-9x-14=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 1 por a, -9 por b e -14 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-14\right)}}{2}$$

Calcule o quadrado de -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-14\right)}}{2}$$

Multiplique -4 vezes -14.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+56}}{2}$$

Some 81 com 56.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{137}}{2}$$

O oposto de -9 é 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{137}}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{9±\sqrt{137}}{2} quando ± for uma adição. Some 9 com \sqrt{137}.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{9±\sqrt{137}}{2} quando ± for uma subtração. Subtraia \sqrt{137} de 9.

$$x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -1,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por x\left(x+1\right), o mínimo múltiplo comum de x,x+1.

$$x+1+x\times 4+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Combine x e x\times 4 para obter 5x.

$$5x+1+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x por x+1.

$$5x+1+x^{2}+x=\left(x+1\right)\times 15$$

Combine 5x e x para obter 6x.

$$6x+1+x^{2}=\left(x+1\right)\times 15$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+1 por 15.

$$6x+1+x^{2}=15x+15$$

Subtraia 15x de ambos os lados.

$$6x+1+x^{2}-15x=15$$

Combine 6x e -15x para obter -9x.

$$-9x+1+x^{2}=15$$

Subtraia 1 de ambos os lados.

$$-9x+x^{2}=15-1$$

Subtraia 1 de 15 para obter 14.

$$-9x+x^{2}=14$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-9x=14$$

Divida -9, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{9}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{9}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=14+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{9}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=14+\frac{81}{4}$$

Some 14 com \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{137}{4}$$

Fatorize x^{2}-9x+\frac{81}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{137}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{137}{4}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{\sqrt{137}}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{\sqrt{137}}{2}$$

Some \frac{9}{2} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$