Resolver 1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21}

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

Resolva para x

$$x=-1$$

Passos Para a Resolução

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -8,-5,-2,1, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right), o mínimo múltiplo comum de x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21.

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 21 por x+5.

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 21x+105 por x+8 e combinar termos semelhantes.

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 21 por x-1.

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 21x-21 por x+8 e combinar termos semelhantes.

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Combine 21x^{2} e 21x^{2} para obter 42x^{2}.

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Combine 273x e 147x para obter 420x.

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Subtraia 168 de 840 para obter 672.

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 21 por x+2.

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 21x+42 por x-1 e combinar termos semelhantes.

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Combine 42x^{2} e 21x^{2} para obter 63x^{2}.

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Combine 420x e 21x para obter 441x.

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Subtraia 42 de 672 para obter 630.

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 7 por x+2.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 7x+14 por x+5 e combinar termos semelhantes.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 7x^{2}+49x+70 por x+8 e combinar termos semelhantes.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Multiplique 21 e -\frac{1}{21} para obter -1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar -1 por x-1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar -x+1 por x+2 e combinar termos semelhantes.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar -x^{2}-x+2 por x+5 e combinar termos semelhantes.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar -x^{3}-6x^{2}-3x+10 por x+8 e combinar termos semelhantes.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

Combine 7x^{3} e -14x^{3} para obter -7x^{3}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

Combine 105x^{2} e -51x^{2} para obter 54x^{2}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

Combine 462x e -14x para obter 448x.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

Some 560 e 80 para obter 640.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Adicionar 7x^{3} em ambos os lados.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Subtraia 54x^{2} de ambos os lados.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

Combine 63x^{2} e -54x^{2} para obter 9x^{2}.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

Subtraia 448x de ambos os lados.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

Combine 441x e -448x para obter -7x.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

Subtraia 640 de ambos os lados.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

Subtraia 640 de 630 para obter -10.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

Adicionar x^{4} em ambos os lados.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

Reorganize a equação para a colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante -10 e q divide o coeficiente inicial 1. Indique todos os candidatos \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Encontre uma dessas raízes ao experimentar todos os valores inteiros. Comece pelo menor por valor absoluto. Se não encontrar nenhuma raiz de número inteiro, experimente frações.

$$x=1$$

Por teorema do fator, x-k é um fator do polinomial para cada raiz k. Dividir x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 por x-1 para obter x^{3}+8x^{2}+17x+10. Resolva a equação onde o resultado é igual a 0.

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante 10 e q divide o coeficiente inicial 1. Indique todos os candidatos \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Encontre uma dessas raízes ao experimentar todos os valores inteiros. Comece pelo menor por valor absoluto. Se não encontrar nenhuma raiz de número inteiro, experimente frações.

$$x=-1$$

Por teorema do fator, x-k é um fator do polinomial para cada raiz k. Dividir x^{3}+8x^{2}+17x+10 por x+1 para obter x^{2}+7x+10. Resolva a equação onde o resultado é igual a 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua 1 por a, 7 por b e 10 por c na fórmula quadrática.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Efetue os cálculos.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Resolva a equação x^{2}+7x+10=0 quando ± é mais e quando ± é menos.

$$x=-5 x=-2$$

Remova os valores aos quais a variável não pode ser igual.

$$x=-1$$

Apresente todas as soluções encontradas.

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores 1,-5,-2.

$$x=-1$$