Resolver 1/x+2+x/x-2=2/x^2-4

$$\frac { 1 } { x + 2 } + \frac { x } { x - 2 } = \frac { 2 } { x ^ { 2 } - 4 }$$

Resolva para x

$$x=-4$$

$$x=1$$

Passos com a Fatorização

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,2, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-2\right)\left(x+2\right), o mínimo múltiplo comum de x+2,x-2,x^{2}-4.

$$x-2+\left(x+2\right)x=2$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+2 por x.

$$x-2+x^{2}+2x=2$$

Combine x e 2x para obter 3x.

$$3x-2+x^{2}=2$$

Subtraia 2 de ambos os lados.

$$3x-2+x^{2}-2=0$$

Subtraia 2 de -2 para obter -4.

$$3x-4+x^{2}=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$x^{2}+3x-4=0$$

Para resolver a equação, o fator x^{2}+3x-4 utilizando a fórmula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=3 ab=-4$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -4.

$$-1,4 -2,2$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

A solução é o par que devolve a soma 3.

$$a=-1 b=4$$

Reescreva a expressão \left(x+a\right)\left(x+b\right) fatorizada ao utilizar os valores obtidos.

$$\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-1=0 e x+4=0.

$$x=1 x=-4$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,2, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-2\right)\left(x+2\right), o mínimo múltiplo comum de x+2,x-2,x^{2}-4.

$$x-2+\left(x+2\right)x=2$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+2 por x.

$$x-2+x^{2}+2x=2$$

Combine x e 2x para obter 3x.

$$3x-2+x^{2}=2$$

Subtraia 2 de ambos os lados.

$$3x-2+x^{2}-2=0$$

Subtraia 2 de -2 para obter -4.

$$3x-4+x^{2}=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$x^{2}+3x-4=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como x^{2}+ax+bx-4. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -4.

$$-1,4 -2,2$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

A solução é o par que devolve a soma 3.

$$a=-1 b=4$$

Reescreva x^{2}+3x-4 como \left(x^{2}-x\right)+\left(4x-4\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(4x-4\right)$$

Fator out x no primeiro e 4 no segundo grupo.

$$x\left(x-1\right)+4\left(x-1\right)$$

Decomponha o termo comum x-1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-1=0 e x+4=0.

$$x=1 x=-4$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,2, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-2\right)\left(x+2\right), o mínimo múltiplo comum de x+2,x-2,x^{2}-4.

$$x-2+\left(x+2\right)x=2$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+2 por x.

$$x-2+x^{2}+2x=2$$

Combine x e 2x para obter 3x.

$$3x-2+x^{2}=2$$

Subtraia 2 de ambos os lados.

$$3x-2+x^{2}-2=0$$

Subtraia 2 de -2 para obter -4.

$$3x-4+x^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$x^{2}+3x-4=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 1 por a, 3 por b e -4 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-4\right)}}{2}$$

Calcule o quadrado de 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-4\right)}}{2}$$

Multiplique -4 vezes -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2}$$

Some 9 com 16.

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{2}$$

Calcule a raiz quadrada de 25.

$$x=\frac{-3±5}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-3±5}{2} quando ± for uma adição. Some -3 com 5.

$$x=\frac{2}{2}$$

Divida 2 por 2.

$$x=1$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-3±5}{2} quando ± for uma subtração. Subtraia 5 de -3.

$$x=-\frac{8}{2}$$

Divida -8 por 2.

$$x=-4$$

A equação está resolvida.

$$x=1 x=-4$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,2, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-2\right)\left(x+2\right), o mínimo múltiplo comum de x+2,x-2,x^{2}-4.

$$x-2+\left(x+2\right)x=2$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+2 por x.

$$x-2+x^{2}+2x=2$$

Combine x e 2x para obter 3x.

$$3x-2+x^{2}=2$$

Adicionar 2 em ambos os lados.

$$3x+x^{2}=2+2$$

Some 2 e 2 para obter 4.

$$3x+x^{2}=4$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x=4$$

Divida 3, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{3}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{3}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{3}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Some 4 com \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Fatorize x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Subtraia \frac{3}{2} de ambos os lados da equação.

$$x=1 x=-4$$