Resolver 1/x+1+2/x-1=x^2+2x/x^2-1

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 2 } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }$$

Resolva para x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -1,1, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-1\right)\left(x+1\right), o mínimo múltiplo comum de x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+1 por 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Combine x e 2x para obter 3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Some -1 e 2 para obter 1.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Subtraia 2x de ambos os lados.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Combine 3x e -2x para obter x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -1 por a, 1 por b e 1 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule o quadrado de 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique -4 vezes -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Some 1 com 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 2 vezes -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} quando ± for uma adição. Some -1 com \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Divida -1+\sqrt{5} por -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} quando ± for uma subtração. Subtraia \sqrt{5} de -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Divida -1-\sqrt{5} por -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -1,1, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-1\right)\left(x+1\right), o mínimo múltiplo comum de x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+1 por 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Combine x e 2x para obter 3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Some -1 e 2 para obter 1.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Subtraia 2x de ambos os lados.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Combine 3x e -2x para obter x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Subtraia 1 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$x-x^{2}=-1$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-1$$

Divida ambos os lados por -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Dividir por -1 anula a multiplicação por -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Divida 1 por -1.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

Divida -1 por -1.

$$x^{2}-x=1$$

Divida -1, o coeficiente do termo x, por 2 para obter -\frac{1}{2}. Em seguida, some o quadrado de -\frac{1}{2} a ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{1}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Some 1 com \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Fatorize x^{2}-x+\frac{1}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Some \frac{1}{2} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$