Resolver 1/n^2+11n+30=1/n+5-4

$$\frac { 1 } { n ^ { 2 } + 11 n + 30 } = \frac { 1 } { n + 5 } - 4$$

Resolva para n

$$n = -\frac{23}{4} = -5\frac{3}{4} = -5,75$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

A variável n não pode ser igual a nenhum dos valores -6,-5, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(n+5\right)\left(n+6\right), o mínimo múltiplo comum de n^{2}+11n+30,n+5.

$$1=n+6+\left(n+5\right)\left(n+6\right)\left(-4\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar n+5 por n+6 e combinar termos semelhantes.

$$1=n+6+\left(n^{2}+11n+30\right)\left(-4\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar n^{2}+11n+30 por -4.

$$1=n+6-4n^{2}-44n-120$$

Combine n e -44n para obter -43n.

$$1=-43n+6-4n^{2}-120$$

Subtraia 120 de 6 para obter -114.

$$1=-43n-114-4n^{2}$$

Troque os lados para que todos os termos variáveis estejam no lado esquerdo.

$$-43n-114-4n^{2}=1$$

Subtraia 1 de ambos os lados.

$$-43n-114-4n^{2}-1=0$$

Subtraia 1 de -114 para obter -115.

$$-43n-115-4n^{2}=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-4n^{2}-43n-115=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -4n^{2}+an+bn-115. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-43 ab=-4\left(-115\right)=460$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 460.

$$-1,-460 -2,-230 -4,-115 -5,-92 -10,-46 -20,-23$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-460=-461 -2-230=-232 -4-115=-119 -5-92=-97 -10-46=-56 -20-23=-43$$

A solução é o par que devolve a soma -43.

$$a=-20 b=-23$$

Reescreva -4n^{2}-43n-115 como \left(-4n^{2}-20n\right)+\left(-23n-115\right).

$$\left(-4n^{2}-20n\right)+\left(-23n-115\right)$$

Fator out 4n no primeiro e 23 no segundo grupo.

$$4n\left(-n-5\right)+23\left(-n-5\right)$$

Decomponha o termo comum -n-5 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(-n-5\right)\left(4n+23\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva -n-5=0 e 4n+23=0.

$$n=-5 n=-\frac{23}{4}$$

A variável n não pode de ser igual a -5.

$$n=-\frac{23}{4}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável n não pode ser igual a nenhum dos valores -6,-5, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(n+5\right)\left(n+6\right), o mínimo múltiplo comum de n^{2}+11n+30,n+5.

$$1=n+6+\left(n+5\right)\left(n+6\right)\left(-4\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar n+5 por n+6 e combinar termos semelhantes.

$$1=n+6+\left(n^{2}+11n+30\right)\left(-4\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar n^{2}+11n+30 por -4.

$$1=n+6-4n^{2}-44n-120$$

Combine n e -44n para obter -43n.

$$1=-43n+6-4n^{2}-120$$

Subtraia 120 de 6 para obter -114.

$$1=-43n-114-4n^{2}$$

Troque os lados para que todos os termos variáveis estejam no lado esquerdo.

$$-43n-114-4n^{2}=1$$

Subtraia 1 de ambos os lados.

$$-43n-114-4n^{2}-1=0$$

Subtraia 1 de -114 para obter -115.

$$-43n-115-4n^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-4n^{2}-43n-115=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -4 por a, -43 por b e -115 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{\left(-43\right)^{2}-4\left(-4\right)\left(-115\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Calcule o quadrado de -43.

$$n=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-4\left(-4\right)\left(-115\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplique -4 vezes -4.

$$n=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849+16\left(-115\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplique 16 vezes -115.

$$n=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-1840}}{2\left(-4\right)}$$

Some 1849 com -1840.

$$n=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{9}}{2\left(-4\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 9.

$$n=\frac{-\left(-43\right)±3}{2\left(-4\right)}$$

O oposto de -43 é 43.

$$n=\frac{43±3}{2\left(-4\right)}$$

Multiplique 2 vezes -4.

$$n=\frac{43±3}{-8}$$

Agora, resolva a equação n=\frac{43±3}{-8} quando ± for uma adição. Some 43 com 3.

$$n=\frac{46}{-8}$$

Reduza a fração \frac{46}{-8} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$n=-\frac{23}{4}$$

Agora, resolva a equação n=\frac{43±3}{-8} quando ± for uma subtração. Subtraia 3 de 43.

$$n=\frac{40}{-8}$$

Divida 40 por -8.

$$n=-5$$

A equação está resolvida.

$$n=-\frac{23}{4} n=-5$$

A variável n não pode de ser igual a -5.

$$n=-\frac{23}{4}$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável n não pode ser igual a nenhum dos valores -6,-5, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(n+5\right)\left(n+6\right), o mínimo múltiplo comum de n^{2}+11n+30,n+5.

$$1=n+6+\left(n+5\right)\left(n+6\right)\left(-4\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar n+5 por n+6 e combinar termos semelhantes.

$$1=n+6+\left(n^{2}+11n+30\right)\left(-4\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar n^{2}+11n+30 por -4.

$$1=n+6-4n^{2}-44n-120$$

Combine n e -44n para obter -43n.

$$1=-43n+6-4n^{2}-120$$

Subtraia 120 de 6 para obter -114.

$$1=-43n-114-4n^{2}$$

Troque os lados para que todos os termos variáveis estejam no lado esquerdo.

$$-43n-114-4n^{2}=1$$

Adicionar 114 em ambos os lados.

$$-43n-4n^{2}=1+114$$

Some 1 e 114 para obter 115.

$$-43n-4n^{2}=115$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-4n^{2}-43n=115$$

Divida ambos os lados por -4.

$$\frac{-4n^{2}-43n}{-4}=\frac{115}{-4}$$

Dividir por -4 anula a multiplicação por -4.

$$n^{2}+\left(-\frac{43}{-4}\right)n=\frac{115}{-4}$$

Divida -43 por -4.

$$n^{2}+\frac{43}{4}n=\frac{115}{-4}$$

Divida 115 por -4.

$$n^{2}+\frac{43}{4}n=-\frac{115}{4}$$

Divida \frac{43}{4}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{43}{8}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{43}{8} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$n^{2}+\frac{43}{4}n+\left(\frac{43}{8}\right)^{2}=-\frac{115}{4}+\left(\frac{43}{8}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{43}{8}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$n^{2}+\frac{43}{4}n+\frac{1849}{64}=-\frac{115}{4}+\frac{1849}{64}$$

Some -\frac{115}{4} com \frac{1849}{64} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$n^{2}+\frac{43}{4}n+\frac{1849}{64}=\frac{9}{64}$$

Fatorize n^{2}+\frac{43}{4}n+\frac{1849}{64}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{43}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(n+\frac{43}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Simplifique.

$$n+\frac{43}{8}=\frac{3}{8} n+\frac{43}{8}=-\frac{3}{8}$$

Subtraia \frac{43}{8} de ambos os lados da equação.

$$n=-5 n=-\frac{23}{4}$$

A variável n não pode de ser igual a -5.

$$n=-\frac{23}{4}$$