Resolver 1/9x^2-6x+1+16/15x^2+25x-10=1/3x-1

$$\frac { 1 } { 9 x ^ { 2 } - 6 x + 1 } + \frac { 16 } { 15 x ^ { 2 } + 25 x - 10 } = \frac { 1 } { 3 x - 1 }$$

Resolva para x

$$x=-\frac{2}{15}\approx -0,133333333$$

$$x=2$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,\frac{1}{3}, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, o mínimo múltiplo comum de 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 3x-1 por 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Combine 5x e 48x para obter 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Subtraia 16 de 10 para obter -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 5 por x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 5x+10 por 3x-1 e combinar termos semelhantes.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Subtraia 15x^{2} de ambos os lados.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Subtraia 25x de ambos os lados.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Combine 53x e -25x para obter 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Adicionar 10 em ambos os lados.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

Some -6 e 10 para obter 4.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -15x^{2}+ax+bx+4. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=28 ab=-15\times 4=-60$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

A solução é o par que devolve a soma 28.

$$a=30 b=-2$$

Reescreva -15x^{2}+28x+4 como \left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Fator out 15x no primeiro e 2 no segundo grupo.

$$15x\left(-x+2\right)+2\left(-x+2\right)$$

Decomponha o termo comum -x+2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(-x+2\right)\left(15x+2\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva -x+2=0 e 15x+2=0.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,\frac{1}{3}, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, o mínimo múltiplo comum de 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 3x-1 por 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Combine 5x e 48x para obter 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Subtraia 16 de 10 para obter -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 5 por x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 5x+10 por 3x-1 e combinar termos semelhantes.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Subtraia 15x^{2} de ambos os lados.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Subtraia 25x de ambos os lados.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Combine 53x e -25x para obter 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Adicionar 10 em ambos os lados.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

Some -6 e 10 para obter 4.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -15 por a, 28 por b e 4 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Calcule o quadrado de 28.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Multiplique -4 vezes -15.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+60\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Multiplique 60 vezes 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+240}}{2\left(-15\right)}$$

Some 784 com 240.

$$x=\frac{-28±\sqrt{1024}}{2\left(-15\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 1024.

$$x=\frac{-28±32}{2\left(-15\right)}$$

Multiplique 2 vezes -15.

$$x=\frac{-28±32}{-30}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-28±32}{-30} quando ± for uma adição. Some -28 com 32.

$$x=\frac{4}{-30}$$

Reduza a fração \frac{4}{-30} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=-\frac{2}{15}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-28±32}{-30} quando ± for uma subtração. Subtraia 32 de -28.

$$x=-\frac{60}{-30}$$

Divida -60 por -30.

$$x=2$$

A equação está resolvida.

$$x=-\frac{2}{15} x=2$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,\frac{1}{3}, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, o mínimo múltiplo comum de 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 3x-1 por 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Combine 5x e 48x para obter 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Subtraia 16 de 10 para obter -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 5 por x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 5x+10 por 3x-1 e combinar termos semelhantes.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Subtraia 15x^{2} de ambos os lados.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Subtraia 25x de ambos os lados.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Combine 53x e -25x para obter 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Adicionar 6 em ambos os lados.

$$28x-15x^{2}=-10+6$$

Some -10 e 6 para obter -4.

$$28x-15x^{2}=-4$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-15x^{2}+28x=-4$$

Divida ambos os lados por -15.

$$\frac{-15x^{2}+28x}{-15}=-\frac{4}{-15}$$

Dividir por -15 anula a multiplicação por -15.

$$x^{2}+\frac{28}{-15}x=-\frac{4}{-15}$$

Divida 28 por -15.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=-\frac{4}{-15}$$

Divida -4 por -15.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=\frac{4}{15}$$

Divida -\frac{28}{15}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{14}{15}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{14}{15} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{14}{15}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{4}{15}+\frac{196}{225}$$

Some \frac{4}{15} com \frac{196}{225} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{256}{225}$$

Fatorize x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{256}{225}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{256}{225}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{14}{15}=\frac{16}{15} x-\frac{14}{15}=-\frac{16}{15}$$

Some \frac{14}{15} a ambos os lados da equação.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$