Resolver 1/3x+x/x-1=x^2-3/x^2+x

$$\frac { 1 } { 3 x } + \frac { x } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } - 3 } { x ^ { 2 } + x }$$

Resolva para x

$$x=-2$$

$$x=\frac{5}{7}\approx 0,714285714$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -1,0,1, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 3x\left(x-1\right)\left(x+1\right), o mínimo múltiplo comum de 3x,x-1,x^{2}+x.

$$x^{2}-1+3x\left(x+1\right)x=\left(3x-3\right)\left(x^{2}-3\right)$$

Multiplique x e x para obter x^{2}.

$$x^{2}-1+3x^{2}\left(x+1\right)=\left(3x-3\right)\left(x^{2}-3\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 3x^{2} por x+1.

$$x^{2}-1+3x^{3}+3x^{2}=\left(3x-3\right)\left(x^{2}-3\right)$$

Combine x^{2} e 3x^{2} para obter 4x^{2}.

$$4x^{2}-1+3x^{3}=\left(3x-3\right)\left(x^{2}-3\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 3x-3 por x^{2}-3.

$$4x^{2}-1+3x^{3}=3x^{3}-9x-3x^{2}+9$$

Subtraia 3x^{3} de ambos os lados.

$$4x^{2}-1+3x^{3}-3x^{3}=-9x-3x^{2}+9$$

Combine 3x^{3} e -3x^{3} para obter 0.

$$4x^{2}-1=-9x-3x^{2}+9$$

Adicionar 9x em ambos os lados.

$$4x^{2}-1+9x=-3x^{2}+9$$

Adicionar 3x^{2} em ambos os lados.

$$4x^{2}-1+9x+3x^{2}=9$$

Combine 4x^{2} e 3x^{2} para obter 7x^{2}.

$$7x^{2}-1+9x=9$$

Subtraia 9 de ambos os lados.

$$7x^{2}-1+9x-9=0$$

Subtraia 9 de -1 para obter -10.

$$7x^{2}-10+9x=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$7x^{2}+9x-10=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 7x^{2}+ax+bx-10. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=9 ab=7\left(-10\right)=-70$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -70.

$$-1,70 -2,35 -5,14 -7,10$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+70=69 -2+35=33 -5+14=9 -7+10=3$$

A solução é o par que devolve a soma 9.

$$a=-5 b=14$$

Reescreva 7x^{2}+9x-10 como \left(7x^{2}-5x\right)+\left(14x-10\right).

$$\left(7x^{2}-5x\right)+\left(14x-10\right)$$

Fator out x no primeiro e 2 no segundo grupo.

$$x\left(7x-5\right)+2\left(7x-5\right)$$

Decomponha o termo comum 7x-5 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(7x-5\right)\left(x+2\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 7x-5=0 e x+2=0.

$$x=\frac{5}{7} x=-2$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -1,0,1, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 3x\left(x-1\right)\left(x+1\right), o mínimo múltiplo comum de 3x,x-1,x^{2}+x.

$$x^{2}-1+3x\left(x+1\right)x=\left(3x-3\right)\left(x^{2}-3\right)$$

Multiplique x e x para obter x^{2}.

$$x^{2}-1+3x^{2}\left(x+1\right)=\left(3x-3\right)\left(x^{2}-3\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 3x^{2} por x+1.

$$x^{2}-1+3x^{3}+3x^{2}=\left(3x-3\right)\left(x^{2}-3\right)$$

Combine x^{2} e 3x^{2} para obter 4x^{2}.

$$4x^{2}-1+3x^{3}=\left(3x-3\right)\left(x^{2}-3\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 3x-3 por x^{2}-3.

$$4x^{2}-1+3x^{3}=3x^{3}-9x-3x^{2}+9$$

Subtraia 3x^{3} de ambos os lados.

$$4x^{2}-1+3x^{3}-3x^{3}=-9x-3x^{2}+9$$

Combine 3x^{3} e -3x^{3} para obter 0.

$$4x^{2}-1=-9x-3x^{2}+9$$

Adicionar 9x em ambos os lados.

$$4x^{2}-1+9x=-3x^{2}+9$$

Adicionar 3x^{2} em ambos os lados.

$$4x^{2}-1+9x+3x^{2}=9$$

Combine 4x^{2} e 3x^{2} para obter 7x^{2}.

$$7x^{2}-1+9x=9$$

Subtraia 9 de ambos os lados.

$$7x^{2}-1+9x-9=0$$

Subtraia 9 de -1 para obter -10.

$$7x^{2}-10+9x=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$7x^{2}+9x-10=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 7 por a, 9 por b e -10 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 7\left(-10\right)}}{2\times 7}$$

Calcule o quadrado de 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 7\left(-10\right)}}{2\times 7}$$

Multiplique -4 vezes 7.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-28\left(-10\right)}}{2\times 7}$$

Multiplique -28 vezes -10.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+280}}{2\times 7}$$

Some 81 com 280.

$$x=\frac{-9±\sqrt{361}}{2\times 7}$$

Calcule a raiz quadrada de 361.

$$x=\frac{-9±19}{2\times 7}$$

Multiplique 2 vezes 7.

$$x=\frac{-9±19}{14}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-9±19}{14} quando ± for uma adição. Some -9 com 19.

$$x=\frac{10}{14}$$

Reduza a fração \frac{10}{14} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=\frac{5}{7}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-9±19}{14} quando ± for uma subtração. Subtraia 19 de -9.

$$x=-\frac{28}{14}$$

Divida -28 por 14.

$$x=-2$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{5}{7} x=-2$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -1,0,1, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 3x\left(x-1\right)\left(x+1\right), o mínimo múltiplo comum de 3x,x-1,x^{2}+x.

$$x^{2}-1+3x\left(x+1\right)x=\left(3x-3\right)\left(x^{2}-3\right)$$

Multiplique x e x para obter x^{2}.

$$x^{2}-1+3x^{2}\left(x+1\right)=\left(3x-3\right)\left(x^{2}-3\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 3x^{2} por x+1.

$$x^{2}-1+3x^{3}+3x^{2}=\left(3x-3\right)\left(x^{2}-3\right)$$

Combine x^{2} e 3x^{2} para obter 4x^{2}.

$$4x^{2}-1+3x^{3}=\left(3x-3\right)\left(x^{2}-3\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 3x-3 por x^{2}-3.

$$4x^{2}-1+3x^{3}=3x^{3}-9x-3x^{2}+9$$

Subtraia 3x^{3} de ambos os lados.

$$4x^{2}-1+3x^{3}-3x^{3}=-9x-3x^{2}+9$$

Combine 3x^{3} e -3x^{3} para obter 0.

$$4x^{2}-1=-9x-3x^{2}+9$$

Adicionar 9x em ambos os lados.

$$4x^{2}-1+9x=-3x^{2}+9$$

Adicionar 3x^{2} em ambos os lados.

$$4x^{2}-1+9x+3x^{2}=9$$

Combine 4x^{2} e 3x^{2} para obter 7x^{2}.

$$7x^{2}-1+9x=9$$

Adicionar 1 em ambos os lados.

$$7x^{2}+9x=9+1$$

Some 9 e 1 para obter 10.

$$7x^{2}+9x=10$$

Divida ambos os lados por 7.

$$\frac{7x^{2}+9x}{7}=\frac{10}{7}$$

Dividir por 7 anula a multiplicação por 7.

$$x^{2}+\frac{9}{7}x=\frac{10}{7}$$

Divida \frac{9}{7}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{9}{14}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{9}{14} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{9}{7}x+\left(\frac{9}{14}\right)^{2}=\frac{10}{7}+\left(\frac{9}{14}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{9}{14}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{9}{7}x+\frac{81}{196}=\frac{10}{7}+\frac{81}{196}$$

Some \frac{10}{7} com \frac{81}{196} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{9}{7}x+\frac{81}{196}=\frac{361}{196}$$

Fatorize x^{2}+\frac{9}{7}x+\frac{81}{196}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{14}\right)^{2}=\frac{361}{196}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{196}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{9}{14}=\frac{19}{14} x+\frac{9}{14}=-\frac{19}{14}$$

Subtraia \frac{9}{14} de ambos os lados da equação.

$$x=\frac{5}{7} x=-2$$