Resolver frac{sqrt{3}+sqrt{2}}{3sqrt{3}-2sqrt{2}}=a+bsqrt{6}

$$\frac { \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } } { 3 \sqrt { 3 } - 2 \sqrt { 2 } } = a + b \sqrt { 6 }$$

Resolva para b

$$b=-\frac{\sqrt{6}a}{6}+\frac{13\sqrt{6}}{114}+\frac{5}{19}$$

Passos Para Resolver Uma Equação Linear

Racionalize o denominador de \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3\sqrt{3}-2\sqrt{2}} ao multiplicar o numerador e o denominador por 3\sqrt{3}+2\sqrt{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)}{\left(3\sqrt{3}-2\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)}=a+b\sqrt{6}$$

Considere \left(3\sqrt{3}-2\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right). A multiplicação pode ser transformada na diferença dos quadrados através da regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)}{\left(3\sqrt{3}\right)^{2}-\left(-2\sqrt{2}\right)^{2}}=a+b\sqrt{6}$$

Expanda \left(3\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)}{3^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(-2\sqrt{2}\right)^{2}}=a+b\sqrt{6}$$

Calcule 3 elevado a 2 e obtenha 9.

$$\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)}{9\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(-2\sqrt{2}\right)^{2}}=a+b\sqrt{6}$$

O quadrado de \sqrt{3} é 3.

$$\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)}{9\times 3-\left(-2\sqrt{2}\right)^{2}}=a+b\sqrt{6}$$

Multiplique 9 e 3 para obter 27.

$$\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)}{27-\left(-2\sqrt{2}\right)^{2}}=a+b\sqrt{6}$$

Expanda \left(-2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)}{27-\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}}=a+b\sqrt{6}$$

Calcule -2 elevado a 2 e obtenha 4.

$$\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)}{27-4\left(\sqrt{2}\right)^{2}}=a+b\sqrt{6}$$

O quadrado de \sqrt{2} é 2.

$$\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)}{27-4\times 2}=a+b\sqrt{6}$$

Multiplique 4 e 2 para obter 8.

$$\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)}{27-8}=a+b\sqrt{6}$$

Subtraia 8 de 27 para obter 19.

$$\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)}{19}=a+b\sqrt{6}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar \sqrt{3}+\sqrt{2} por 3\sqrt{3}+2\sqrt{2} e combinar termos semelhantes.

$$\frac{3\left(\sqrt{3}\right)^{2}+5\sqrt{3}\sqrt{2}+2\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{19}=a+b\sqrt{6}$$

O quadrado de \sqrt{3} é 3.

$$\frac{3\times 3+5\sqrt{3}\sqrt{2}+2\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{19}=a+b\sqrt{6}$$

Multiplique 3 e 3 para obter 9.

$$\frac{9+5\sqrt{3}\sqrt{2}+2\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{19}=a+b\sqrt{6}$$

Para multiplicar \sqrt{3} e \sqrt{2}, multiplique os números sob a raiz quadrada.

$$\frac{9+5\sqrt{6}+2\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{19}=a+b\sqrt{6}$$

O quadrado de \sqrt{2} é 2.

$$\frac{9+5\sqrt{6}+2\times 2}{19}=a+b\sqrt{6}$$

Multiplique 2 e 2 para obter 4.

$$\frac{9+5\sqrt{6}+4}{19}=a+b\sqrt{6}$$

Some 9 e 4 para obter 13.

$$\frac{13+5\sqrt{6}}{19}=a+b\sqrt{6}$$

Divida cada termo de 13+5\sqrt{6} por 19 para obter \frac{13}{19}+\frac{5}{19}\sqrt{6}.

$$\frac{13}{19}+\frac{5}{19}\sqrt{6}=a+b\sqrt{6}$$

Troque os lados para que todos os termos variáveis estejam no lado esquerdo.

$$a+b\sqrt{6}=\frac{13}{19}+\frac{5}{19}\sqrt{6}$$

Subtraia a de ambos os lados.

$$b\sqrt{6}=\frac{13}{19}+\frac{5}{19}\sqrt{6}-a$$

A equação está no formato padrão.

$$\sqrt{6}b=-a+\frac{5\sqrt{6}}{19}+\frac{13}{19}$$

Divida ambos os lados por \sqrt{6}.

$$\frac{\sqrt{6}b}{\sqrt{6}}=\frac{-a+\frac{5\sqrt{6}}{19}+\frac{13}{19}}{\sqrt{6}}$$

Dividir por \sqrt{6} anula a multiplicação por \sqrt{6}.

$$b=\frac{-a+\frac{5\sqrt{6}}{19}+\frac{13}{19}}{\sqrt{6}}$$

Divida \frac{13}{19}+\frac{5\sqrt{6}}{19}-a por \sqrt{6}.

$$b=-\frac{\sqrt{6}a}{6}+\frac{13\sqrt{6}}{114}+\frac{5}{19}$$

Resolva para a

$$a=-\sqrt{6}b+\frac{5\sqrt{6}}{19}+\frac{13}{19}$$