Resolver [2/3(x-3)]^2=16*7-x/2

$$[ \frac { 2 } { 3 } ( x - 3 ) ] ^ { 2 } = 16 \times \frac { 7 - x } { 2 }$$

Resolva para x

$$x=3\sqrt{17}-6\approx 6,369316877$$

$$x=-3\sqrt{17}-6\approx -18,369316877$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Multiplique ambos os lados da equação por 2.

$$2\times \left(\frac{2}{3}\left(x-3\right)\right)^{2}=16\left(7-x\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar \frac{2}{3} por x-3.

$$2\left(\frac{2}{3}x-2\right)^{2}=16\left(7-x\right)$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(\frac{2}{3}x-2\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4}{9}x^{2}-\frac{8}{3}x+4\right)=16\left(7-x\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2 por \frac{4}{9}x^{2}-\frac{8}{3}x+4.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8=16\left(7-x\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 16 por 7-x.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8=112-16x$$

Subtraia 112 de ambos os lados.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8-112=-16x$$

Subtraia 112 de 8 para obter -104.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x-104=-16x$$

Adicionar 16x em ambos os lados.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x-104+16x=0$$

Combine -\frac{16}{3}x e 16x para obter \frac{32}{3}x.

$$\frac{8}{9}x^{2}+\frac{32}{3}x-104=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua \frac{8}{9} por a, \frac{32}{3} por b e -104 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\sqrt{\left(\frac{32}{3}\right)^{2}-4\times \frac{8}{9}\left(-104\right)}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Calcule o quadrado de \frac{32}{3}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\sqrt{\frac{1024}{9}-4\times \frac{8}{9}\left(-104\right)}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Multiplique -4 vezes \frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\sqrt{\frac{1024}{9}-\frac{32}{9}\left(-104\right)}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Multiplique -\frac{32}{9} vezes -104.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\sqrt{\frac{1024+3328}{9}}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Some \frac{1024}{9} com \frac{3328}{9} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\sqrt{\frac{4352}{9}}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Calcule a raiz quadrada de \frac{4352}{9}.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\frac{16\sqrt{17}}{3}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Multiplique 2 vezes \frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\frac{16\sqrt{17}}{3}}{\frac{16}{9}}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-\frac{32}{3}±\frac{16\sqrt{17}}{3}}{\frac{16}{9}} quando ± for uma adição. Some -\frac{32}{3} com \frac{16\sqrt{17}}{3}.

$$x=\frac{16\sqrt{17}-32}{\frac{16}{9}\times 3}$$

Divida \frac{-32+16\sqrt{17}}{3} por \frac{16}{9} ao multiplicar \frac{-32+16\sqrt{17}}{3} pelo recíproco de \frac{16}{9}.

$$x=3\sqrt{17}-6$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-\frac{32}{3}±\frac{16\sqrt{17}}{3}}{\frac{16}{9}} quando ± for uma subtração. Subtraia \frac{16\sqrt{17}}{3} de -\frac{32}{3}.

$$x=\frac{-16\sqrt{17}-32}{\frac{16}{9}\times 3}$$

Divida \frac{-32-16\sqrt{17}}{3} por \frac{16}{9} ao multiplicar \frac{-32-16\sqrt{17}}{3} pelo recíproco de \frac{16}{9}.

$$x=-3\sqrt{17}-6$$

A equação está resolvida.

$$x=3\sqrt{17}-6 x=-3\sqrt{17}-6$$

Passos Para Completar o Quadrado

Multiplique ambos os lados da equação por 2.

$$2\times \left(\frac{2}{3}\left(x-3\right)\right)^{2}=16\left(7-x\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar \frac{2}{3} por x-3.

$$2\left(\frac{2}{3}x-2\right)^{2}=16\left(7-x\right)$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(\frac{2}{3}x-2\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4}{9}x^{2}-\frac{8}{3}x+4\right)=16\left(7-x\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2 por \frac{4}{9}x^{2}-\frac{8}{3}x+4.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8=16\left(7-x\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 16 por 7-x.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8=112-16x$$

Adicionar 16x em ambos os lados.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8+16x=112$$

Combine -\frac{16}{3}x e 16x para obter \frac{32}{3}x.

$$\frac{8}{9}x^{2}+\frac{32}{3}x+8=112$$

Subtraia 8 de ambos os lados.

$$\frac{8}{9}x^{2}+\frac{32}{3}x=112-8$$

Subtraia 8 de 112 para obter 104.

$$\frac{8}{9}x^{2}+\frac{32}{3}x=104$$

Divida ambos os lados da equação por \frac{8}{9}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.

$$\frac{\frac{8}{9}x^{2}+\frac{32}{3}x}{\frac{8}{9}}=\frac{104}{\frac{8}{9}}$$

Dividir por \frac{8}{9} anula a multiplicação por \frac{8}{9}.

$$x^{2}+\frac{\frac{32}{3}}{\frac{8}{9}}x=\frac{104}{\frac{8}{9}}$$

Divida \frac{32}{3} por \frac{8}{9} ao multiplicar \frac{32}{3} pelo recíproco de \frac{8}{9}.

$$x^{2}+12x=\frac{104}{\frac{8}{9}}$$

Divida 104 por \frac{8}{9} ao multiplicar 104 pelo recíproco de \frac{8}{9}.

$$x^{2}+12x=117$$

Divida 12, o coeficiente do termo x, 2 para obter 6. Em seguida, adicione o quadrado de 6 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+12x+6^{2}=117+6^{2}$$

Calcule o quadrado de 6.

$$x^{2}+12x+36=117+36$$

Some 117 com 36.

$$x^{2}+12x+36=153$$

Fatorize x^{2}+12x+36. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=153$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{153}$$

Simplifique.

$$x+6=3\sqrt{17} x+6=-3\sqrt{17}$$

Subtraia 6 de ambos os lados da equação.

$$x=3\sqrt{17}-6 x=-3\sqrt{17}-6$$