Resolver =20x^4+31x^2-9

$$= 20 x ^ { 4 } + 31 x ^ { 2 } - 9$$

Fatorizar

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Passos Para a Resolução

Para fatorizar o resultado, resolva a equação igual a 0.

$$20x^{4}+31x^{2}-9=0$$

De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante -9 e q divide o coeficiente inicial 20. Indique todos os candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{20},±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{20},±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{20},±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Encontre uma dessas raízes ao experimentar todos os valores inteiros. Comece pelo menor por valor absoluto. Se não encontrar nenhuma raiz de número inteiro, experimente frações.

$$x=\frac{1}{2}$$

Por teorema do fator, x-k é um fator do polinomial para cada raiz k. Dividir 20x^{4}+31x^{2}-9 por 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 para obter 10x^{3}+5x^{2}+18x+9. Para fatorizar o resultado, resolva a equação igual a 0.

$$10x^{3}+5x^{2}+18x+9=0$$

De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante 9 e q divide o coeficiente inicial 10. Indique todos os candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{2},±1$$

Encontre uma dessas raízes ao experimentar todos os valores inteiros. Comece pelo menor por valor absoluto. Se não encontrar nenhuma raiz de número inteiro, experimente frações.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Por teorema do fator, x-k é um fator do polinomial para cada raiz k. Dividir 10x^{3}+5x^{2}+18x+9 por 2\left(x+\frac{1}{2}\right)=2x+1 para obter 5x^{2}+9. Para fatorizar o resultado, resolva a equação igual a 0.

$$5x^{2}+9=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua 5 por a, 0 por b e 9 por c na fórmula quadrática.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Efetue os cálculos.

$$x=\frac{0±\sqrt{-180}}{10}$$

O polinómio 5x^{2}+9 não é fatorizado, pois não tem raízes racionais.

$$5x^{2}+9$$

Reescreva a expressão fatorizada ao utilizar as raízes obtidas.

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Avaliar

$$20x^{4}+31x^{2}-9$$