z=xy+e^y/y^2+1.text{Find}partial^2z/partialxpartialy କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$z = x y + \frac { e ^ { y } } { y ^ { 2 } + 1 } . \text { Find } \frac { \partial ^ { 2 } z } { \partial x \partial y }$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{e^{y}-z-zy^{2}}{y\left(y^{2}+1\right)}\text{, }&y\neq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }&z=1\text{ and }y=0\end{matrix}\right.$$

ରୈଖିକ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ y^{2}+1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$z\left(y^{2}+1\right)=xy\left(y^{2}+1\right)+e^{y}$$

z କୁ y^{2}+1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$zy^{2}+z=xy\left(y^{2}+1\right)+e^{y}$$

xy କୁ y^{2}+1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$zy^{2}+z=xy^{3}+xy+e^{y}$$

ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$xy^{3}+xy+e^{y}=zy^{2}+z$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ e^{y} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$xy^{3}+xy=zy^{2}+z-e^{y}$$

x ଧାରଣ କରିଥିବା ସମସ୍ତ ପଦ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(y^{3}+y\right)x=zy^{2}+z-e^{y}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ y^{3}+y ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{\left(y^{3}+y\right)x}{y^{3}+y}=\frac{zy^{2}+z-e^{y}}{y^{3}+y}$$

y^{3}+y ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା y^{3}+y ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$x=\frac{zy^{2}+z-e^{y}}{y^{3}+y}$$

zy^{2}+z-e^{y} କୁ y^{3}+y ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{zy^{2}+z-e^{y}}{y\left(y^{2}+1\right)}$$