y^2-14y+33=0 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$y ^ { 2 } - 14 y + 33 = 0$$

y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$y=3$$

$$y=11$$

ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ସମୀକରଣକୁ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ସୂତ୍ର y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) ବ୍ୟବହାର କରି y^{2}-14y+33 ର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=-14 ab=33$$

ଯେହେତୁ ab ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, a ଏବଂ b ର ସମାନ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁa+b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ 33 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,-33 -3,-11$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1-33=-34 -3-11=-14$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି -14 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-11 b=-3$$

ପ୍ରାପ୍ତ ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରି ଫ୍ୟାକ୍ଟରଯୁକ୍ତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି \left(y+a\right)\left(y+b\right) ପୁନଃଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(y-11\right)\left(y-3\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, y-11=0 ଏବଂ y-3=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$y=11 y=3$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ y^{2}+ay+by+33 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=-14 ab=1\times 33=33$$

ଯେହେତୁ ab ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, a ଏବଂ b ର ସମାନ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁa+b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ 33 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,-33 -3,-11$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1-33=-34 -3-11=-14$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି -14 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-11 b=-3$$

\left(y^{2}-11y\right)+\left(-3y+33\right) ଭାବରେ y^{2}-14y+33 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(y^{2}-11y\right)+\left(-3y+33\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ y ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ -3 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$y\left(y-11\right)-3\left(y-11\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ y-11 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(y-11\right)\left(y-3\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, y-11=0 ଏବଂ y-3=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$y=11 y=3$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$y^{2}-14y+33=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ 1, b ପାଇଁ -14, ଏବଂ c ପାଇଁ 33 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 33}}{2}$$

ବର୍ଗ -14.

$$y=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 33}}{2}$$

-4 କୁ 33 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-132}}{2}$$

196 କୁ -132 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{64}}{2}$$

64 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\left(-14\right)±8}{2}$$

-14 ର ବିପରୀତ ହେଉଛି 14.

$$y=\frac{14±8}{2}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ y=\frac{14±8}{2} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 14 କୁ 8 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=\frac{22}{2}$$

22 କୁ 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=11$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ y=\frac{14±8}{2} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 14 ରୁ 8 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{6}{2}$$

6 କୁ 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=3$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$y=11 y=3$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଯେପରିକି ଏହି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ ପ୍ରଥମେ x^{2}+bx=c ପ୍ରକାରେ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ.

$$y^{2}-14y+33=0$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 33 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y^{2}-14y+33-33=-33$$

ସଂପୃକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାରୁ ସେହି 33 ବିୟୋଗ କରିବାରେ 0 ମିଳିଥାଏ.

$$y^{2}-14y=-33$$

-7 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, -14 କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ -7 ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$y^{2}-14y+\left(-7\right)^{2}=-33+\left(-7\right)^{2}$$

ବର୍ଗ -7.

$$y^{2}-14y+49=-33+49$$

-33 କୁ 49 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y^{2}-14y+49=16$$

ଗୁଣନୀୟକ y^{2}-14y+49. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(y-7\right)^{2}=16$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(y-7\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$y-7=4 y-7=-4$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 7 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=11 y=3$$