x^4+x^2+x+1=(x^2+A)(x^2-1)+Bx+C କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x ^ { 4 } + x ^ { 2 } + x + 1 = ( x ^ { 2 } + A ) ( x ^ { 2 } - 1 ) + B x + C$$

A ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ (ଜଟଳି ସମାଧାନ)

$$\left\{\begin{matrix}A=-\frac{-2x^{2}+Bx-x+C-1}{x^{2}-1}\text{, }&x\neq -1\text{ and }x\neq 1\\A\in \mathrm{C}\text{, }&\left(B=4-C\text{ and }x=1\right)\text{ or }\left(B=C-2\text{ and }x=-1\right)\end{matrix}\right.$$

ରୈଖିକ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

x^{2}+A କୁ x^{2}-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ x^{4} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

0 ପାଇବାକୁ x^{4} ଏବଂ -x^{4} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ x^{2} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

2x^{2} ପାଇବାକୁ x^{2} ଏବଂ x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ Bx ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$Ax^{2}-A+C=2x^{2}+x+1-Bx$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ C ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$Ax^{2}-A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

A ଧାରଣ କରିଥିବା ସମସ୍ତ ପଦ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରହିଛି.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}-Bx+x-C+1$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ x^{2}-1 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)A}{x^{2}-1}=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

x^{2}-1 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା x^{2}-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$A=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

B ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ (ଜଟଳି ସମାଧାନ)

$$\left\{\begin{matrix}B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}\text{, }&x\neq 0\\B\in \mathrm{C}\text{, }&A=C-1\text{ and }x=0\end{matrix}\right.$$

ରୈଖିକ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

x^{2}+A କୁ x^{2}-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ x^{4} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

0 ପାଇବାକୁ x^{4} ଏବଂ -x^{4} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ x^{2} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

2x^{2} ପାଇବାକୁ x^{2} ଏବଂ x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ Ax^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-A+Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ A ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ C ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$Bx=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A-C$$

ପଦଗୁଡିକୁ ପୁନଃକ୍ରମରେ ରଖନ୍ତୁ.

$$Bx=-Ax^{2}+2x^{2}+x+A-C+1$$

ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରହିଛି.

$$xB=1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ x ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{xB}{x}=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$

x ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା x ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$

A ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left\{\begin{matrix}A=-\frac{-2x^{2}+Bx-x+C-1}{x^{2}-1}\text{, }&|x|\neq 1\\A\in \mathrm{R}\text{, }&\left(B=C-2\text{ and }x=-1\right)\text{ or }\left(B=4-C\text{ and }x=1\right)\end{matrix}\right.$$

ରୈଖିକ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

x^{2}+A କୁ x^{2}-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ x^{4} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

0 ପାଇବାକୁ x^{4} ଏବଂ -x^{4} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ x^{2} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

2x^{2} ପାଇବାକୁ x^{2} ଏବଂ x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ Bx ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$Ax^{2}-A+C=2x^{2}+x+1-Bx$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ C ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$Ax^{2}-A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

A ଧାରଣ କରିଥିବା ସମସ୍ତ ପଦ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରହିଛି.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}-Bx+x-C+1$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ x^{2}-1 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)A}{x^{2}-1}=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

x^{2}-1 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା x^{2}-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$A=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

B ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left\{\begin{matrix}B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}\text{, }&x\neq 0\\B\in \mathrm{R}\text{, }&A=C-1\text{ and }x=0\end{matrix}\right.$$

ରୈଖିକ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

x^{2}+A କୁ x^{2}-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ x^{4} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

0 ପାଇବାକୁ x^{4} ଏବଂ -x^{4} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ x^{2} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

2x^{2} ପାଇବାକୁ x^{2} ଏବଂ x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ Ax^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-A+Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ A ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ C ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$Bx=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A-C$$

ପଦଗୁଡିକୁ ପୁନଃକ୍ରମରେ ରଖନ୍ତୁ.

$$Bx=-Ax^{2}+2x^{2}+x+A-C+1$$

ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରହିଛି.

$$xB=1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ x ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{xB}{x}=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$

x ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା x ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$