x^2=a(x-1)(x-2)+b(x-1)+c କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x ^ { 2 } = a ( x - 1 ) ( x - 2 ) + b ( x - 1 ) + c$$

a ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left\{\begin{matrix}a=-\frac{-x^{2}+bx+c-b}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}\text{, }&x\neq 1\text{ and }x\neq 2\\a\in \mathrm{R}\text{, }&\left(b=4-c\text{ and }x=2\right)\text{ or }\left(c=1\text{ and }x=1\right)\end{matrix}\right.$$

ରୈଖିକ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

a କୁ x-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}=\left(ax-a\right)\left(x-2\right)+b\left(x-1\right)+c$$

ax-a କୁ x-2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}=ax^{2}-3ax+2a+b\left(x-1\right)+c$$

b କୁ x-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}=ax^{2}-3ax+2a+bx-b+c$$

ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$ax^{2}-3ax+2a+bx-b+c=x^{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ bx ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$ax^{2}-3ax+2a-b+c=x^{2}-bx$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ b ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$ax^{2}-3ax+2a+c=x^{2}-bx+b$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ c ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$ax^{2}-3ax+2a=x^{2}-bx+b-c$$

a ଧାରଣ କରିଥିବା ସମସ୍ତ ପଦ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(x^{2}-3x+2\right)a=x^{2}-bx+b-c$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ x^{2}-3x+2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{\left(x^{2}-3x+2\right)a}{x^{2}-3x+2}=\frac{x^{2}-bx+b-c}{x^{2}-3x+2}$$

x^{2}-3x+2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା x^{2}-3x+2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$a=\frac{x^{2}-bx+b-c}{x^{2}-3x+2}$$

x^{2}-bx+b-c କୁ x^{2}-3x+2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$a=\frac{x^{2}-bx+b-c}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}$$

b ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left\{\begin{matrix}b=-\frac{ax^{2}-x^{2}-3ax+c+2a}{x-1}\text{, }&x\neq 1\\b\in \mathrm{R}\text{, }&c=1\text{ and }x=1\end{matrix}\right.$$

ରୈଖିକ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

a କୁ x-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}=\left(ax-a\right)\left(x-2\right)+b\left(x-1\right)+c$$

ax-a କୁ x-2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}=ax^{2}-3ax+2a+b\left(x-1\right)+c$$

b କୁ x-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}=ax^{2}-3ax+2a+bx-b+c$$

ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$ax^{2}-3ax+2a+bx-b+c=x^{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ ax^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-3ax+2a+bx-b+c=x^{2}-ax^{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 3ax ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$2a+bx-b+c=x^{2}-ax^{2}+3ax$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 2a ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$bx-b+c=x^{2}-ax^{2}+3ax-2a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ c ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$bx-b=x^{2}-ax^{2}+3ax-2a-c$$

ପଦଗୁଡିକୁ ପୁନଃକ୍ରମରେ ରଖନ୍ତୁ.

$$bx-b=-ax^{2}+x^{2}+3ax-2a-c$$

b ଧାରଣ କରିଥିବା ସମସ୍ତ ପଦ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(x-1\right)b=-ax^{2}+x^{2}+3ax-2a-c$$

ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରହିଛି.

$$\left(x-1\right)b=-ax^{2}+x^{2}+3ax-c-2a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ x-1 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{\left(x-1\right)b}{x-1}=\frac{-ax^{2}+x^{2}+3ax-c-2a}{x-1}$$

x-1 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା x-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$b=\frac{-ax^{2}+x^{2}+3ax-c-2a}{x-1}$$