x+3x+1/2-x-2/3=x^2-2 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x + \frac { 3 x + 1 } { 2 } - \frac { x - 2 } { 3 } = x ^ { 2 } - 2$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=-1$$

$$x = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \approx 3.166666667$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 6 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, 2,3 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

3 କୁ 3x+1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

15x ପାଇବାକୁ 6x ଏବଂ 9x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

-2 କୁ x-2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

13x ପାଇବାକୁ 15x ଏବଂ -2x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

7 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 3 ଏବଂ 4 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 6x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 12 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

19 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 7 ଏବଂ 12 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

ଏହାକୁ ଏକ ମାନାଙ୍କ ରୂପେରେ ରଖିବା ପାଇଁ ପଲିନୋମିଆଲକୁ ପୁନଃବ୍ୟବସ୍ଥିତ କରନ୍ତୁ. ବଡରୁ ସାନ ପାୱାର୍‌ କ୍ରମରେ ପଦଗୁଡିକୁ ରଖନ୍ତୁ.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ -6x^{2}+ax+bx+19 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -114 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି 13 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=19 b=-6$$

\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right) ଭାବରେ -6x^{2}+13x+19 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ -x ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ -1 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ 6x-19 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, 6x-19=0 ଏବଂ -x-1=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 6 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, 2,3 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

3 କୁ 3x+1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

15x ପାଇବାକୁ 6x ଏବଂ 9x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

-2 କୁ x-2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

13x ପାଇବାକୁ 15x ଏବଂ -2x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

7 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 3 ଏବଂ 4 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 6x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 12 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

19 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 7 ଏବଂ 12 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ -6, b ପାଇଁ 13, ଏବଂ c ପାଇଁ 19 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

ବର୍ଗ 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

-4 କୁ -6 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

24 କୁ 19 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}$$

169 କୁ 456 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}$$

625 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}$$

2 କୁ -6 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-13±25}{-12}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-13±25}{-12} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -13 କୁ 25 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{12}{-12}$$

12 କୁ -12 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-1$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-13±25}{-12} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -13 ରୁ 25 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{38}{-12}$$

2 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{-38}{-12} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{19}{6}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=-1 x=\frac{19}{6}$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 6 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, 2,3 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

3 କୁ 3x+1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

15x ପାଇବାକୁ 6x ଏବଂ 9x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

-2 କୁ x-2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

13x ପାଇବାକୁ 15x ଏବଂ -2x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

7 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 3 ଏବଂ 4 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 6x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 7 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$13x-6x^{2}=-12-7$$

-19 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -12 ଏବଂ 7 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$13x-6x^{2}=-19$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଯେପରିକି ଏହି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ ପ୍ରଥମେ x^{2}+bx=c ପ୍ରକାରେ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ.

$$-6x^{2}+13x=-19$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -6 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}$$

-6 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା -6 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}$$

13 କୁ -6 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}$$

-19 କୁ -6 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}$$

-\frac{13}{12} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, -\frac{13}{6} କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ -\frac{13}{12} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{13}{12} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{169}{144} ସହିତ \frac{19}{6} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}$$

ଗୁଣନୀୟକ x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{13}{12} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$