p^2-48p-49=0 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$p ^ { 2 } - 48 p - 49 = 0$$

p ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$p=-1$$

$$p=49$$

ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ସମୀକରଣକୁ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ସୂତ୍ର p^{2}+\left(a+b\right)p+ab=\left(p+a\right)\left(p+b\right) ବ୍ୟବହାର କରି p^{2}-48p-49 ର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=-48 ab=-49$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -49 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$1,-49 7,-7$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$1-49=-48 7-7=0$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି -48 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-49 b=1$$

ପ୍ରାପ୍ତ ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରି ଫ୍ୟାକ୍ଟରଯୁକ୍ତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି \left(p+a\right)\left(p+b\right) ପୁନଃଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(p-49\right)\left(p+1\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, p-49=0 ଏବଂ p+1=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$p=49 p=-1$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ p^{2}+ap+bp-49 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=-48 ab=1\left(-49\right)=-49$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -49 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$1,-49 7,-7$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$1-49=-48 7-7=0$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି -48 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-49 b=1$$

\left(p^{2}-49p\right)+\left(p-49\right) ଭାବରେ p^{2}-48p-49 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(p^{2}-49p\right)+\left(p-49\right)$$

p^{2}-49pରେ p ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$p\left(p-49\right)+p-49$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ p-49 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(p-49\right)\left(p+1\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, p-49=0 ଏବଂ p+1=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$p=49 p=-1$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$p^{2}-48p-49=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ 1, b ପାଇଁ -48, ଏବଂ c ପାଇଁ -49 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$p=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\left(-49\right)}}{2}$$

ବର୍ଗ -48.

$$p=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-4\left(-49\right)}}{2}$$

-4 କୁ -49 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$p=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304+196}}{2}$$

2304 କୁ 196 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$p=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2500}}{2}$$

2500 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$p=\frac{-\left(-48\right)±50}{2}$$

-48 ର ବିପରୀତ ହେଉଛି 48.

$$p=\frac{48±50}{2}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ p=\frac{48±50}{2} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 48 କୁ 50 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$p=\frac{98}{2}$$

98 କୁ 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$p=49$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ p=\frac{48±50}{2} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 48 ରୁ 50 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$p=-\frac{2}{2}$$

-2 କୁ 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$p=-1$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$p=49 p=-1$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଯେପରିକି ଏହି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ ପ୍ରଥମେ x^{2}+bx=c ପ୍ରକାରେ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ.

$$p^{2}-48p-49=0$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 49 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$p^{2}-48p-49-\left(-49\right)=-\left(-49\right)$$

ସଂପୃକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାରୁ ସେହି -49 ବିୟୋଗ କରିବାରେ 0 ମିଳିଥାଏ.

$$p^{2}-48p=-\left(-49\right)$$

0 ରୁ -49 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$p^{2}-48p=49$$

-24 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, -48 କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ -24 ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$p^{2}-48p+\left(-24\right)^{2}=49+\left(-24\right)^{2}$$

ବର୍ଗ -24.

$$p^{2}-48p+576=49+576$$

49 କୁ 576 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$p^{2}-48p+576=625$$

ଗୁଣନୀୟକ p^{2}-48p+576. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(p-24\right)^{2}=625$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(p-24\right)^{2}}=\sqrt{625}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$p-24=25 p-24=-25$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 24 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$p=49 p=-1$$