a^2+8a-9=96 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$a ^ { 2 } + 8 a - 9 = 96$$

a ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$a=-15$$

$$a=7$$

ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 96 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$a^{2}+8a-9-96=0$$

-105 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -9 ଏବଂ 96 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$a^{2}+8a-105=0$$

ସମୀକରଣକୁ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ସୂତ୍ର a^{2}+\left(a+b\right)a+ab=\left(a+a\right)\left(a+b\right) ବ୍ୟବହାର କରି a^{2}+8a-105 ର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=8 ab=-105$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -105 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,105 -3,35 -5,21 -7,15$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1+105=104 -3+35=32 -5+21=16 -7+15=8$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି 8 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-7 b=15$$

ପ୍ରାପ୍ତ ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରି ଫ୍ୟାକ୍ଟରଯୁକ୍ତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି \left(a+a\right)\left(a+b\right) ପୁନଃଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(a-7\right)\left(a+15\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, a-7=0 ଏବଂ a+15=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$a=7 a=-15$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 96 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$a^{2}+8a-9-96=0$$

-105 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -9 ଏବଂ 96 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$a^{2}+8a-105=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ a^{2}+aa+ba-105 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=8 ab=1\left(-105\right)=-105$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -105 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,105 -3,35 -5,21 -7,15$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1+105=104 -3+35=32 -5+21=16 -7+15=8$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି 8 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-7 b=15$$

\left(a^{2}-7a\right)+\left(15a-105\right) ଭାବରେ a^{2}+8a-105 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(a^{2}-7a\right)+\left(15a-105\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ a ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ 15 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$a\left(a-7\right)+15\left(a-7\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ a-7 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(a-7\right)\left(a+15\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, a-7=0 ଏବଂ a+15=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$a=7 a=-15$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$a^{2}+8a-9=96$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 96 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$a^{2}+8a-9-96=96-96$$

ସଂପୃକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାରୁ ସେହି 96 ବିୟୋଗ କରିବାରେ 0 ମିଳିଥାଏ.

$$a^{2}+8a-9-96=0$$

-9 ରୁ 96 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$a^{2}+8a-105=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ 1, b ପାଇଁ 8, ଏବଂ c ପାଇଁ -105 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$a=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-105\right)}}{2}$$

ବର୍ଗ 8.

$$a=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-105\right)}}{2}$$

-4 କୁ -105 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$a=\frac{-8±\sqrt{64+420}}{2}$$

64 କୁ 420 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$a=\frac{-8±\sqrt{484}}{2}$$

484 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$a=\frac{-8±22}{2}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ a=\frac{-8±22}{2} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -8 କୁ 22 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$a=\frac{14}{2}$$

14 କୁ 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$a=7$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ a=\frac{-8±22}{2} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -8 ରୁ 22 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$a=-\frac{30}{2}$$

-30 କୁ 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$a=-15$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$a=7 a=-15$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଯେପରିକି ଏହି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ ପ୍ରଥମେ x^{2}+bx=c ପ୍ରକାରେ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ.

$$a^{2}+8a-9=96$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 9 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$a^{2}+8a-9-\left(-9\right)=96-\left(-9\right)$$

ସଂପୃକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାରୁ ସେହି -9 ବିୟୋଗ କରିବାରେ 0 ମିଳିଥାଏ.

$$a^{2}+8a=96-\left(-9\right)$$

96 ରୁ -9 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$a^{2}+8a=105$$

4 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, 8 କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 4 ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$a^{2}+8a+4^{2}=105+4^{2}$$

ବର୍ଗ 4.

$$a^{2}+8a+16=105+16$$

105 କୁ 16 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$a^{2}+8a+16=121$$

ଗୁଣନୀୟକ a^{2}+8a+16. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(a+4\right)^{2}=121$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(a+4\right)^{2}}=\sqrt{121}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$a+4=11 a+4=-11$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 4 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$a=7 a=-15$$