9n^2-23n+20=3n^2 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

n ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 3n^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

6n^{2} ପାଇବାକୁ 9n^{2} ଏବଂ -3n^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ 6n^{2}+an+bn+20 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

ଯେହେତୁ ab ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, a ଏବଂ b ର ସମାନ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁa+b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ 120 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି -23 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-15 b=-8$$

\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right) ଭାବରେ 6n^{2}-23n+20 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ 3n ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ -4 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ 2n-5 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, 2n-5=0 ଏବଂ 3n-4=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 3n^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

6n^{2} ପାଇବାକୁ 9n^{2} ଏବଂ -3n^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ 6, b ପାଇଁ -23, ଏବଂ c ପାଇଁ 20 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

ବର୍ଗ -23.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

-4 କୁ 6 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

-24 କୁ 20 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

529 କୁ -480 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

49 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

-23 ର ବିପରୀତ ହେଉଛି 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

2 କୁ 6 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ n=\frac{23±7}{12} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 23 କୁ 7 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$n=\frac{30}{12}$$

6 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{30}{12} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$n=\frac{5}{2}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ n=\frac{23±7}{12} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 23 ରୁ 7 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$n=\frac{16}{12}$$

4 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{16}{12} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$n=\frac{4}{3}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 3n^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

6n^{2} ପାଇବାକୁ 9n^{2} ଏବଂ -3n^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 20 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ. ଶୂନ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ବିଯୁକ୍ତାତ୍ମକ ରୂପ ମିଳିଥାଏ.

$$6n^{2}-23n=-20$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 6 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

6 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା 6 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

2 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{-20}{6} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

-\frac{23}{12} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, -\frac{23}{6} କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ -\frac{23}{12} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{23}{12} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{529}{144} ସହିତ -\frac{10}{3} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

ଗୁଣନୀୟକ n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{23}{12} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$