81x^2+90x+25 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$81 { x }^{ 2 } +90x+25$$

ଗୁଣକ

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

ସମାଧାନ କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରିବା ଦ୍ୱାରା ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି 81x^{2}+ax+bx+25 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=90 ab=81\times 25=2025$$

ଯେହେତୁ ab ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, a ଏବଂ b ର ସମାନ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁa+b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ 2025 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$1,2025 3,675 5,405 9,225 15,135 25,81 27,75 45,45$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$1+2025=2026 3+675=678 5+405=410 9+225=234 15+135=150 25+81=106 27+75=102 45+45=90$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି 90 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=45 b=45$$

\left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right) ଭାବରେ 81x^{2}+90x+25 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ 9x ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ 5 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$9x\left(9x+5\right)+5\left(9x+5\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ 9x+5 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

ବାଇନମିଆଲ୍‌ ବର୍ଗ ଭାବେ ପୁଣି ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

ବାଇନୋମିଆଲର ବର୍ଗ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଏହି ଟ୍ରାଇନମିଆଲ୍‌ର ଏକ ଟ୍ରାଇନମିଆଲ୍‌ ବର୍ଗର ରୂପ ରହିଛି, ସମ୍ଭବତଃ ଏକ ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣିତ ହୋଇଥାଏ. ଅଗ୍ରଗାମୀ ଏବଂ ଅନୁଗାମୀ ପଦଗୁଡିକର ବର୍ଗମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ଦ୍ୱାରା ଟ୍ରାଇନମିଆଲ୍‌ ବର୍ଗଗୁଡିକୁ ଗୁଣନୀୟକଯୁକ୍ତ କରାଯାଇପାରିବ.

$$factor(81x^{2}+90x+25)$$

ଗୁଣାଙ୍କଗୁଡିକର ଗରିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ.

$$gcf(81,90,25)=1$$

ଅଗ୍ରଣୀ ପଦ, 81x^{2} ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

ଅନୁଗାମୀ ପଦ, 25 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\sqrt{25}=5$$

ଟ୍ରାଇନମିଆଲ୍‌ ବର୍ଗ ହେଉଛି ବାଇନମିଆଲ୍‌ର ବର୍ଗ ଯାହା ହେଉଛି ଅଗ୍ରଗାମୀ ଏବଂ ଅନୁଗାମୀ ପଦଗୁଡିକ ବର୍ଗମୂଳର ପାର୍ଥକ୍ୟ କିମ୍ବା ସମଷ୍ଟି, ଟ୍ରାଇନମିଆଲ୍‌ ବର୍ଗର ମଧ୍ୟମ ପଦର ଚିହ୍ନ ଦ୍ୱାରା ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ଚିହ୍ନ ସହିତ.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଟ୍ରାନ୍ସଫର୍ମେସନ୍‌ ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)ବ୍ୟବହାର କରି କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌‌କୁ ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ କରାଯାଇପାରିବ, ଯେଉଁଠାରେ x_{1} ଏବଂ x_{2} ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ax^{2}+bx+c=0 ର ସମାଧାନ ଅଟେ.

$$81x^{2}+90x+25=0$$

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

ବର୍ଗ 90.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

-4 କୁ 81 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-324\times 25}}{2\times 81}$$

-324 କୁ 25 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-8100}}{2\times 81}$$

8100 କୁ -8100 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-90±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

0 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-90±0}{2\times 81}$$

2 କୁ 81 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-90±0}{162}$$

ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) ବ୍ୟବାହର କରି ମୂଳ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିର ଗୁଣକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ. x_{1} ପାଇଁ -\frac{5}{9} ଏବଂ x_{2} ପାଇଁ -\frac{5}{9} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)$$

ଫର୍ମ p-\left(-q\right) ରୁ p+q ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମସ୍ତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିଗୁଡିକ ସରଳୀକୃତ କରନ୍ତୁ.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x+\frac{5}{9}\right)\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା x ସହିତ \frac{5}{9} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା x ସହିତ \frac{5}{9} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\times \frac{9x+5}{9}$$

ଲବ ଯେତେ ଥର ରହିଛି ଲବ ସହିତ ଏବଂ ହର ଯେତେ ଥର ରହିଛି ହର ସହିତ ଗୁଣନ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{9x+5}{9} କୁ \frac{9x+5}{9} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{9\times 9}$$

9 କୁ 9 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{81}$$

81 ଏବଂ 81 ରେ ଗରିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ 81 ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରନ୍ତୁ.

$$81x^{2}+90x+25=\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

ମୂଲ୍ୟାୟନ କରିବା

$$\left(9x+5\right)^{2}$$