5=1/2250x^2+1/250left(x+0.2right)^2 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$5 = \frac{ 1 }{ 2 } 250 { x }^{ 2 } + \frac{ 1 }{ 2 } 50 { \left(x+0.2 \right) }^{ 2 }$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=\frac{2}{15}\approx 0.133333333$$

$$x=-0.2$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

125 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ \frac{1}{2} ଏବଂ 250 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$5=125x^{2}+\frac{1}{2}\times 50\left(x+0.2\right)^{2}$$

25 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ \frac{1}{2} ଏବଂ 50 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$5=125x^{2}+25\left(x+0.2\right)^{2}$$

\left(x+0.2\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$5=125x^{2}+25\left(x^{2}+0.4x+0.04\right)$$

25 କୁ x^{2}+0.4x+0.04 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$5=125x^{2}+25x^{2}+10x+1$$

150x^{2} ପାଇବାକୁ 125x^{2} ଏବଂ 25x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$5=150x^{2}+10x+1$$

ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$150x^{2}+10x+1=5$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 5 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$150x^{2}+10x+1-5=0$$

-4 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 1 ଏବଂ 5 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$150x^{2}+10x-4=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ 150x^{2}+ax+bx-4 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=10 ab=150\left(-4\right)=-600$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -600 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି 5 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-10 b=15$$

\left(150x^{2}-10x\right)+\left(15x-4\right) ଭାବରେ 150x^{2}+10x-4 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(150x^{2}-10x\right)+\left(15x-4\right)$$

150x^{2}-10xରେ 5x ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$5x\left(15x-2\right)+15x-2$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ 15x-2 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(15x-2\right)\left(5x+1\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, 15x-2=0 ଏବଂ 5x+1=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{2}{15} x=-\frac{1}{5}$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

125 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ \frac{1}{2} ଏବଂ 250 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$5=125x^{2}+\frac{1}{2}\times 50\left(x+0.2\right)^{2}$$

25 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ \frac{1}{2} ଏବଂ 50 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$5=125x^{2}+25\left(x+0.2\right)^{2}$$

\left(x+0.2\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$5=125x^{2}+25\left(x^{2}+0.4x+0.04\right)$$

25 କୁ x^{2}+0.4x+0.04 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$5=125x^{2}+25x^{2}+10x+1$$

150x^{2} ପାଇବାକୁ 125x^{2} ଏବଂ 25x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$5=150x^{2}+10x+1$$

ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$150x^{2}+10x+1=5$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 5 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$150x^{2}+10x+1-5=0$$

-4 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 1 ଏବଂ 5 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$150x^{2}+10x-4=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ 150, b ପାଇଁ 10, ଏବଂ c ପାଇଁ -4 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 150\left(-4\right)}}{2\times 150}$$

ବର୍ଗ 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 150\left(-4\right)}}{2\times 150}$$

-4 କୁ 150 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-600\left(-4\right)}}{2\times 150}$$

-600 କୁ -4 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+2400}}{2\times 150}$$

100 କୁ 2400 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-10±\sqrt{2500}}{2\times 150}$$

2500 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-10±50}{2\times 150}$$

2 କୁ 150 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-10±50}{300}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-10±50}{300} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -10 କୁ 50 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{40}{300}$$

20 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{40}{300} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{2}{15}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-10±50}{300} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -10 ରୁ 50 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{60}{300}$$

60 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{-60}{300} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{1}{5}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=\frac{2}{15} x=-\frac{1}{5}$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

125 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ \frac{1}{2} ଏବଂ 250 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$5=125x^{2}+\frac{1}{2}\times 50\left(x+0.2\right)^{2}$$

25 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ \frac{1}{2} ଏବଂ 50 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$5=125x^{2}+25\left(x+0.2\right)^{2}$$

\left(x+0.2\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$5=125x^{2}+25\left(x^{2}+0.4x+0.04\right)$$

25 କୁ x^{2}+0.4x+0.04 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$5=125x^{2}+25x^{2}+10x+1$$

150x^{2} ପାଇବାକୁ 125x^{2} ଏବଂ 25x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$5=150x^{2}+10x+1$$

ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$150x^{2}+10x+1=5$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 1 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$150x^{2}+10x=5-1$$

4 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 5 ଏବଂ 1 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$150x^{2}+10x=4$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 150 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{150x^{2}+10x}{150}=\frac{4}{150}$$

150 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା 150 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+\frac{10}{150}x=\frac{4}{150}$$

10 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{10}{150} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+\frac{1}{15}x=\frac{4}{150}$$

2 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{4}{150} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+\frac{1}{15}x=\frac{2}{75}$$

\frac{1}{30} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, \frac{1}{15} କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{1}{30} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+\frac{1}{15}x+\left(\frac{1}{30}\right)^{2}=\frac{2}{75}+\left(\frac{1}{30}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{1}{30} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+\frac{1}{15}x+\frac{1}{900}=\frac{2}{75}+\frac{1}{900}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{1}{900} ସହିତ \frac{2}{75} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$x^{2}+\frac{1}{15}x+\frac{1}{900}=\frac{1}{36}$$

ଗୁଣନୀୟକ x^{2}+\frac{1}{15}x+\frac{1}{900}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(x+\frac{1}{30}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$x+\frac{1}{30}=\frac{1}{6} x+\frac{1}{30}=-\frac{1}{6}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{1}{30} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{2}{15} x=-\frac{1}{5}$$