49t^2-147t-196=0 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$49 t ^ { 2 } - 147 t - 196 = 0$$

t ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$t=-1$$

$$t=4$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 49 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$t^{2}-3t-4=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ t^{2}+at+bt-4 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=-3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -4 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$1,-4 2,-2$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$1-4=-3 2-2=0$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି -3 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-4 b=1$$

\left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right) ଭାବରେ t^{2}-3t-4 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right)$$

t^{2}-4tରେ t ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$t\left(t-4\right)+t-4$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ t-4 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, t-4=0 ଏବଂ t+1=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$t=4 t=-1$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ 49, b ପାଇଁ -147, ଏବଂ c ପାଇଁ -196 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{\left(-147\right)^{2}-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

ବର୍ଗ -147.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

-4 କୁ 49 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-196\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

-196 କୁ -196 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609+38416}}{2\times 49}$$

21609 କୁ 38416 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{60025}}{2\times 49}$$

60025 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±245}{2\times 49}$$

-147 ର ବିପରୀତ ହେଉଛି 147.

$$t=\frac{147±245}{2\times 49}$$

2 କୁ 49 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$t=\frac{147±245}{98}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ t=\frac{147±245}{98} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 147 କୁ 245 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$t=\frac{392}{98}$$

392 କୁ 98 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$t=4$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ t=\frac{147±245}{98} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 147 ରୁ 245 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$t=-\frac{98}{98}$$

-98 କୁ 98 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$t=-1$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$t=4 t=-1$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଯେପରିକି ଏହି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ ପ୍ରଥମେ x^{2}+bx=c ପ୍ରକାରେ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 196 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$49t^{2}-147t-196-\left(-196\right)=-\left(-196\right)$$

ସଂପୃକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାରୁ ସେହି -196 ବିୟୋଗ କରିବାରେ 0 ମିଳିଥାଏ.

$$49t^{2}-147t=-\left(-196\right)$$

0 ରୁ -196 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$49t^{2}-147t=196$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 49 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{49t^{2}-147t}{49}=\frac{196}{49}$$

49 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା 49 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$t^{2}+\left(-\frac{147}{49}\right)t=\frac{196}{49}$$

-147 କୁ 49 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$t^{2}-3t=\frac{196}{49}$$

196 କୁ 49 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$t^{2}-3t=4$$

-\frac{3}{2} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, -3 କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ -\frac{3}{2} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{3}{2} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

4 କୁ \frac{9}{4} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

ଗୁଣନୀୟକ t^{2}-3t+\frac{9}{4}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{3}{2} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$t=4 t=-1$$