281x^2+512x-2448=0 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$281 x ^ { 2 } + 512 x - 2448 = 0$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=-4$$

$$x = \frac{612}{281} = 2\frac{50}{281} \approx 2.177935943$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ 281x^{2}+ax+bx-2448 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=512 ab=281\left(-2448\right)=-687888$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -687888 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,687888 -2,343944 -3,229296 -4,171972 -6,114648 -8,85986 -9,76432 -12,57324 -16,42993 -17,40464 -18,38216 -24,28662 -34,20232 -36,19108 -48,14331 -51,13488 -68,10116 -72,9554 -102,6744 -136,5058 -144,4777 -153,4496 -204,3372 -272,2529 -281,2448 -306,2248 -408,1686 -562,1224 -612,1124 -816,843$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1+687888=687887 -2+343944=343942 -3+229296=229293 -4+171972=171968 -6+114648=114642 -8+85986=85978 -9+76432=76423 -12+57324=57312 -16+42993=42977 -17+40464=40447 -18+38216=38198 -24+28662=28638 -34+20232=20198 -36+19108=19072 -48+14331=14283 -51+13488=13437 -68+10116=10048 -72+9554=9482 -102+6744=6642 -136+5058=4922 -144+4777=4633 -153+4496=4343 -204+3372=3168 -272+2529=2257 -281+2448=2167 -306+2248=1942 -408+1686=1278 -562+1224=662 -612+1124=512 -816+843=27$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି 512 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-612 b=1124$$

\left(281x^{2}-612x\right)+\left(1124x-2448\right) ଭାବରେ 281x^{2}+512x-2448 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(281x^{2}-612x\right)+\left(1124x-2448\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ x ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ 4 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x\left(281x-612\right)+4\left(281x-612\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ 281x-612 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(281x-612\right)\left(x+4\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, 281x-612=0 ଏବଂ x+4=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{612}{281} x=-4$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$281x^{2}+512x-2448=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ 281, b ପାଇଁ 512, ଏବଂ c ପାଇଁ -2448 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-512±\sqrt{512^{2}-4\times 281\left(-2448\right)}}{2\times 281}$$

ବର୍ଗ 512.

$$x=\frac{-512±\sqrt{262144-4\times 281\left(-2448\right)}}{2\times 281}$$

-4 କୁ 281 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-512±\sqrt{262144-1124\left(-2448\right)}}{2\times 281}$$

-1124 କୁ -2448 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-512±\sqrt{262144+2751552}}{2\times 281}$$

262144 କୁ 2751552 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-512±\sqrt{3013696}}{2\times 281}$$

3013696 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-512±1736}{2\times 281}$$

2 କୁ 281 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-512±1736}{562}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-512±1736}{562} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -512 କୁ 1736 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{1224}{562}$$

2 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{1224}{562} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{612}{281}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-512±1736}{562} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -512 ରୁ 1736 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{2248}{562}$$

-2248 କୁ 562 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-4$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=\frac{612}{281} x=-4$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଯେପରିକି ଏହି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ ପ୍ରଥମେ x^{2}+bx=c ପ୍ରକାରେ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ.

$$281x^{2}+512x-2448=0$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 2448 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$281x^{2}+512x-2448-\left(-2448\right)=-\left(-2448\right)$$

ସଂପୃକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାରୁ ସେହି -2448 ବିୟୋଗ କରିବାରେ 0 ମିଳିଥାଏ.

$$281x^{2}+512x=-\left(-2448\right)$$

0 ରୁ -2448 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$281x^{2}+512x=2448$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 281 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{281x^{2}+512x}{281}=\frac{2448}{281}$$

281 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା 281 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+\frac{512}{281}x=\frac{2448}{281}$$

\frac{256}{281} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, \frac{512}{281} କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{256}{281} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+\frac{512}{281}x+\left(\frac{256}{281}\right)^{2}=\frac{2448}{281}+\left(\frac{256}{281}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{256}{281} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+\frac{512}{281}x+\frac{65536}{78961}=\frac{2448}{281}+\frac{65536}{78961}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{65536}{78961} ସହିତ \frac{2448}{281} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$x^{2}+\frac{512}{281}x+\frac{65536}{78961}=\frac{753424}{78961}$$

ଗୁଣନୀୟକ x^{2}+\frac{512}{281}x+\frac{65536}{78961}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(x+\frac{256}{281}\right)^{2}=\frac{753424}{78961}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(x+\frac{256}{281}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{753424}{78961}}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$x+\frac{256}{281}=\frac{868}{281} x+\frac{256}{281}=-\frac{868}{281}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{256}{281} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{612}{281} x=-4$$