28k^2+k-2=0 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$28 k ^ { 2 } + k - 2 = 0$$

k ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$k=\frac{1}{4}=0.25$$

$$k=-\frac{2}{7}\approx -0.285714286$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ 28k^{2}+ak+bk-2 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=1 ab=28\left(-2\right)=-56$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -56 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି 1 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-7 b=8$$

\left(28k^{2}-7k\right)+\left(8k-2\right) ଭାବରେ 28k^{2}+k-2 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(28k^{2}-7k\right)+\left(8k-2\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ 7k ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ 2 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$7k\left(4k-1\right)+2\left(4k-1\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ 4k-1 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(4k-1\right)\left(7k+2\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, 4k-1=0 ଏବଂ 7k+2=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$k=\frac{1}{4} k=-\frac{2}{7}$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$28k^{2}+k-2=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ 28, b ପାଇଁ 1, ଏବଂ c ପାଇଁ -2 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 28\left(-2\right)}}{2\times 28}$$

ବର୍ଗ 1.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 28\left(-2\right)}}{2\times 28}$$

-4 କୁ 28 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1-112\left(-2\right)}}{2\times 28}$$

-112 କୁ -2 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1+224}}{2\times 28}$$

1 କୁ 224 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$k=\frac{-1±\sqrt{225}}{2\times 28}$$

225 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$k=\frac{-1±15}{2\times 28}$$

2 କୁ 28 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$k=\frac{-1±15}{56}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ k=\frac{-1±15}{56} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -1 କୁ 15 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$k=\frac{14}{56}$$

14 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{14}{56} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$k=\frac{1}{4}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ k=\frac{-1±15}{56} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -1 ରୁ 15 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$k=-\frac{16}{56}$$

8 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{-16}{56} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$k=-\frac{2}{7}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$k=\frac{1}{4} k=-\frac{2}{7}$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଯେପରିକି ଏହି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ ପ୍ରଥମେ x^{2}+bx=c ପ୍ରକାରେ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ.

$$28k^{2}+k-2=0$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 2 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$28k^{2}+k-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

ସଂପୃକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାରୁ ସେହି -2 ବିୟୋଗ କରିବାରେ 0 ମିଳିଥାଏ.

$$28k^{2}+k=-\left(-2\right)$$

0 ରୁ -2 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$28k^{2}+k=2$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 28 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{28k^{2}+k}{28}=\frac{2}{28}$$

28 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା 28 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k=\frac{2}{28}$$

2 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{2}{28} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k=\frac{1}{14}$$

\frac{1}{56} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, \frac{1}{28} କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{1}{56} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\left(\frac{1}{56}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(\frac{1}{56}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{1}{56} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}=\frac{1}{14}+\frac{1}{3136}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{1}{3136} ସହିତ \frac{1}{14} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}=\frac{225}{3136}$$

ଗୁଣନୀୟକ k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(k+\frac{1}{56}\right)^{2}=\frac{225}{3136}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(k+\frac{1}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{3136}}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$k+\frac{1}{56}=\frac{15}{56} k+\frac{1}{56}=-\frac{15}{56}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{1}{56} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$k=\frac{1}{4} k=-\frac{2}{7}$$