27left(2x-1right)^3+2=66 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$27 { \left(2x-1 \right) }^{ 3 } +2=66$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ (ଜଟଳି ସମାଧାନ)

$$x = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

$$x=\frac{\sqrt{3}i}{3}+\frac{1}{6}\approx 0.166666667+0.577350269i$$

$$x=-\frac{\sqrt{3}i}{3}+\frac{1}{6}\approx 0.166666667-0.577350269i$$

ସମାଧାନ କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

\left(2x-1\right)^{3} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$27\left(8x^{3}-12x^{2}+6x-1\right)+2=66$$

27 କୁ 8x^{3}-12x^{2}+6x-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$216x^{3}-324x^{2}+162x-27+2=66$$

-25 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -27 ଏବଂ 2 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$216x^{3}-324x^{2}+162x-25=66$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 66 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$216x^{3}-324x^{2}+162x-25-66=0$$

-91 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -25 ଏବଂ 66 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$216x^{3}-324x^{2}+162x-91=0$$

ପରିମେୟ ମୂଳ ଉପପାଦ୍ୟ ଦ୍ୱାରା, ଏକ ପଲିନୋମିଆଲର ସମସ୍ତ ରେସନାଲ ରୁଟ୍‌ଗୁଡିକ\frac{p}{q} ରୂପରେ ରହିଛି, ଯେଉଁଠାରେ p କନଷ୍ଟାଣ୍ଟ ଟର୍ମ୍‌ -91 କୁ ବିଭାଜିତ କରିଥାଏ ଏବଂ q ଅଗ୍ରଣୀ ଗୁଣାଙ୍କ 216କୁ ବିଭାଜିତ କରିଥାଏ. ସମସ୍ତ ପ୍ରାର୍ଥୀଙ୍କୁ ତାଲିକାଭୁକ୍ତ କରନ୍ତୁ \frac{p}{q}.

$$±\frac{91}{216},±\frac{91}{108},±\frac{91}{72},±\frac{91}{54},±\frac{91}{36},±\frac{91}{27},±\frac{91}{24},±\frac{91}{18},±\frac{91}{12},±\frac{91}{9},±\frac{91}{8},±\frac{91}{6},±\frac{91}{4},±\frac{91}{3},±\frac{91}{2},±91,±\frac{13}{216},±\frac{13}{108},±\frac{13}{72},±\frac{13}{54},±\frac{13}{36},±\frac{13}{27},±\frac{13}{24},±\frac{13}{18},±\frac{13}{12},±\frac{13}{9},±\frac{13}{8},±\frac{13}{6},±\frac{13}{4},±\frac{13}{3},±\frac{13}{2},±13,±\frac{7}{216},±\frac{7}{108},±\frac{7}{72},±\frac{7}{54},±\frac{7}{36},±\frac{7}{27},±\frac{7}{24},±\frac{7}{18},±\frac{7}{12},±\frac{7}{9},±\frac{7}{8},±\frac{7}{6},±\frac{7}{4},±\frac{7}{3},±\frac{7}{2},±7,±\frac{1}{216},±\frac{1}{108},±\frac{1}{72},±\frac{1}{54},±\frac{1}{36},±\frac{1}{27},±\frac{1}{24},±\frac{1}{18},±\frac{1}{12},±\frac{1}{9},±\frac{1}{8},±\frac{1}{6},±\frac{1}{4},±\frac{1}{3},±\frac{1}{2},±1$$

ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍‌ ମୂଲ୍ୟ ଚେଷ୍ଟା କରି ଏହିଭଳି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ପାଆନ୍ତୁ, ସବୁଠାରୁ ଛୋଟ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ମୂଲ୍ୟରୁ ପ୍ରାରମ୍ଭ କରି. ଯଦି କୌଣସି ଇଣ୍ଟିଜର୍‌ ବର୍ଗ ମିଳେନାହିଁ, ଭଗ୍ନାଂଶ ଚେଷ୍ଟା କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{7}{6}$$

ଗୁଣନୀୟକ ଥିଓରମ୍‌ ଦ୍ୱାରା, x-k ହେଉଛି ପ୍ରତିଟି ରୁଟ୍‌ k ପାଇଁ ପଲିନୋମିଆଲର ଏକ ଫ୍ୟାକ୍ଟର ଅଟେ. 36x^{2}-12x+13 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 216x^{3}-324x^{2}+162x-91 କୁ 6\left(x-\frac{7}{6}\right)=6x-7 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ସେହି ସମୀକରଣକୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେଉଁଠାରେ ଫଳାଫଳ 0 ସହ ସମାନ ହୋଇଥାଏ.

$$36x^{2}-12x+13=0$$

ଫର୍ମ ax^{2}+bx+c=0 ଠାରୁ ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ଫର୍ମୁଲା ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. a ପାଇଁ 36, b ପାଇଁ -12, ଏବଂ c ପାଇଁ 13 କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ଫର୍ମୁଲାରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 36\times 13}}{2\times 36}$$

ହିସାବଗୁଡିକ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{12±\sqrt{-1728}}{72}$$

± ଯୁକ୍ତ ଥିବା ବେଳେ ଏବଂ ± ବିଯୁକ୍ତ ଥିବା ବେଳେ ସମୀକରଣ 36x^{2}-12x+13=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{\sqrt{3}i}{3}+\frac{1}{6} x=\frac{\sqrt{3}i}{3}+\frac{1}{6}$$

ମିଳିଥିବା ସମସ୍ତ ସମାଧାନର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{7}{6} x=-\frac{\sqrt{3}i}{3}+\frac{1}{6} x=\frac{\sqrt{3}i}{3}+\frac{1}{6}$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

ସମାଧାନ କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

\left(2x-1\right)^{3} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$27\left(8x^{3}-12x^{2}+6x-1\right)+2=66$$

27 କୁ 8x^{3}-12x^{2}+6x-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$216x^{3}-324x^{2}+162x-27+2=66$$

-25 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -27 ଏବଂ 2 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$216x^{3}-324x^{2}+162x-25=66$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 66 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$216x^{3}-324x^{2}+162x-25-66=0$$

-91 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -25 ଏବଂ 66 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$216x^{3}-324x^{2}+162x-91=0$$

ପରିମେୟ ମୂଳ ଉପପାଦ୍ୟ ଦ୍ୱାରା, ଏକ ପଲିନୋମିଆଲର ସମସ୍ତ ରେସନାଲ ରୁଟ୍‌ଗୁଡିକ\frac{p}{q} ରୂପରେ ରହିଛି, ଯେଉଁଠାରେ p କନଷ୍ଟାଣ୍ଟ ଟର୍ମ୍‌ -91 କୁ ବିଭାଜିତ କରିଥାଏ ଏବଂ q ଅଗ୍ରଣୀ ଗୁଣାଙ୍କ 216କୁ ବିଭାଜିତ କରିଥାଏ. ସମସ୍ତ ପ୍ରାର୍ଥୀଙ୍କୁ ତାଲିକାଭୁକ୍ତ କରନ୍ତୁ \frac{p}{q}.

$$±\frac{91}{216},±\frac{91}{108},±\frac{91}{72},±\frac{91}{54},±\frac{91}{36},±\frac{91}{27},±\frac{91}{24},±\frac{91}{18},±\frac{91}{12},±\frac{91}{9},±\frac{91}{8},±\frac{91}{6},±\frac{91}{4},±\frac{91}{3},±\frac{91}{2},±91,±\frac{13}{216},±\frac{13}{108},±\frac{13}{72},±\frac{13}{54},±\frac{13}{36},±\frac{13}{27},±\frac{13}{24},±\frac{13}{18},±\frac{13}{12},±\frac{13}{9},±\frac{13}{8},±\frac{13}{6},±\frac{13}{4},±\frac{13}{3},±\frac{13}{2},±13,±\frac{7}{216},±\frac{7}{108},±\frac{7}{72},±\frac{7}{54},±\frac{7}{36},±\frac{7}{27},±\frac{7}{24},±\frac{7}{18},±\frac{7}{12},±\frac{7}{9},±\frac{7}{8},±\frac{7}{6},±\frac{7}{4},±\frac{7}{3},±\frac{7}{2},±7,±\frac{1}{216},±\frac{1}{108},±\frac{1}{72},±\frac{1}{54},±\frac{1}{36},±\frac{1}{27},±\frac{1}{24},±\frac{1}{18},±\frac{1}{12},±\frac{1}{9},±\frac{1}{8},±\frac{1}{6},±\frac{1}{4},±\frac{1}{3},±\frac{1}{2},±1$$

ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍‌ ମୂଲ୍ୟ ଚେଷ୍ଟା କରି ଏହିଭଳି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ପାଆନ୍ତୁ, ସବୁଠାରୁ ଛୋଟ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ମୂଲ୍ୟରୁ ପ୍ରାରମ୍ଭ କରି. ଯଦି କୌଣସି ଇଣ୍ଟିଜର୍‌ ବର୍ଗ ମିଳେନାହିଁ, ଭଗ୍ନାଂଶ ଚେଷ୍ଟା କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{7}{6}$$

ଗୁଣନୀୟକ ଥିଓରମ୍‌ ଦ୍ୱାରା, x-k ହେଉଛି ପ୍ରତିଟି ରୁଟ୍‌ k ପାଇଁ ପଲିନୋମିଆଲର ଏକ ଫ୍ୟାକ୍ଟର ଅଟେ. 36x^{2}-12x+13 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 216x^{3}-324x^{2}+162x-91 କୁ 6\left(x-\frac{7}{6}\right)=6x-7 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ସେହି ସମୀକରଣକୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେଉଁଠାରେ ଫଳାଫଳ 0 ସହ ସମାନ ହୋଇଥାଏ.

$$36x^{2}-12x+13=0$$

ଫର୍ମ ax^{2}+bx+c=0 ଠାରୁ ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ଫର୍ମୁଲା ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. a ପାଇଁ 36, b ପାଇଁ -12, ଏବଂ c ପାଇଁ 13 କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ଫର୍ମୁଲାରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 36\times 13}}{2\times 36}$$

ହିସାବଗୁଡିକ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{12±\sqrt{-1728}}{72}$$

ଯଦିଓ ଏକ ବିଯୁକ୍ତାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟାର ଚତୁର୍ଭୁଜ ମୂଳ ପ୍ରକୃତ କ୍ଷେତରେ ନ୍ୟସ୍ତ ହୋଇନାହିଁ, କୌଣସି ସମାଧାନ ନାହିଁ.

$$x\in \emptyset$$

ମିଳିଥିବା ସମସ୍ତ ସମାଧାନର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{7}{6}$$