24x^2+6x-3=0 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$24 x ^ { 2 } + 6 x - 3 = 0$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$8x^{2}+2x-1=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ 8x^{2}+ax+bx-1 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=2 ab=8\left(-1\right)=-8$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -8 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,8 -2,4$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି 2 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-2 b=4$$

\left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right) ଭାବରେ 8x^{2}+2x-1 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right)$$

8x^{2}-2xରେ 2x ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x\left(4x-1\right)+4x-1$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ 4x-1 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(4x-1\right)\left(2x+1\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, 4x-1=0 ଏବଂ 2x+1=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ 24, b ପାଇଁ 6, ଏବଂ c ପାଇଁ -3 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

ବର୍ଗ 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

-4 କୁ 24 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-96\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

-96 କୁ -3 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 24}$$

36 କୁ 288 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 24}$$

324 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-6±18}{2\times 24}$$

2 କୁ 24 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-6±18}{48}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-6±18}{48} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -6 କୁ 18 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{12}{48}$$

12 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{12}{48} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{1}{4}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-6±18}{48} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -6 ରୁ 18 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{24}{48}$$

24 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{-24}{48} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{1}{2}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଯେପରିକି ଏହି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ ପ୍ରଥମେ x^{2}+bx=c ପ୍ରକାରେ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 3 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$24x^{2}+6x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

ସଂପୃକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାରୁ ସେହି -3 ବିୟୋଗ କରିବାରେ 0 ମିଳିଥାଏ.

$$24x^{2}+6x=-\left(-3\right)$$

0 ରୁ -3 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$24x^{2}+6x=3$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 24 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{24x^{2}+6x}{24}=\frac{3}{24}$$

24 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା 24 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+\frac{6}{24}x=\frac{3}{24}$$

6 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{6}{24} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{3}{24}$$

3 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{3}{24} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{1}{8}$$

\frac{1}{8} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, \frac{1}{4} କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{1}{8} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{1}{8} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{1}{8}+\frac{1}{64}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{1}{64} ସହିତ \frac{1}{8} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{9}{64}$$

ଗୁଣନୀୟକ x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{3}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{3}{8}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{1}{8} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$