24k^2+50k+24=0 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$24 { k }^{ 2 } +50k+24 = 0$$

k ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$k=-\frac{3}{4}=-0.75$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$12k^{2}+25k+12=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ 12k^{2}+ak+bk+12 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=25 ab=12\times 12=144$$

ଯେହେତୁ ab ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, a ଏବଂ b ର ସମାନ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁa+b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ 144 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି 25 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=9 b=16$$

\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right) ଭାବରେ 12k^{2}+25k+12 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ 3k ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ 4 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$3k\left(4k+3\right)+4\left(4k+3\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ 4k+3 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(4k+3\right)\left(3k+4\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, 4k+3=0 ଏବଂ 3k+4=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ 24, b ପାଇଁ 50, ଏବଂ c ପାଇଁ 24 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$k=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

ବର୍ଗ 50.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

-4 କୁ 24 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-96\times 24}}{2\times 24}$$

-96 କୁ 24 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-2304}}{2\times 24}$$

2500 କୁ -2304 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$k=\frac{-50±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

196 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$k=\frac{-50±14}{2\times 24}$$

2 କୁ 24 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$k=\frac{-50±14}{48}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ k=\frac{-50±14}{48} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -50 କୁ 14 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$k=-\frac{36}{48}$$

12 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{-36}{48} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$k=-\frac{3}{4}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ k=\frac{-50±14}{48} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -50 ରୁ 14 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$k=-\frac{64}{48}$$

16 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{-64}{48} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$k=-\frac{4}{3}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଯେପରିକି ଏହି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ ପ୍ରଥମେ x^{2}+bx=c ପ୍ରକାରେ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 24 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$24k^{2}+50k+24-24=-24$$

ସଂପୃକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାରୁ ସେହି 24 ବିୟୋଗ କରିବାରେ 0 ମିଳିଥାଏ.

$$24k^{2}+50k=-24$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 24 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{24k^{2}+50k}{24}=-\frac{24}{24}$$

24 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା 24 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$k^{2}+\frac{50}{24}k=-\frac{24}{24}$$

2 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{50}{24} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-\frac{24}{24}$$

-24 କୁ 24 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-1$$

\frac{25}{24} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, \frac{25}{12} କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{25}{24} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{25}{24} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=-1+\frac{625}{576}$$

-1 କୁ \frac{625}{576} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=\frac{49}{576}$$

ଗୁଣନୀୟକ k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$k+\frac{25}{24}=\frac{7}{24} k+\frac{25}{24}=-\frac{7}{24}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{25}{24} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$