18x^2-27x+4=0 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$18 { x }^{ 2 } -27x+4=0$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=\frac{1}{6}\approx 0.166666667$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ 18x^{2}+ax+bx+4 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=-27 ab=18\times 4=72$$

ଯେହେତୁ ab ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, a ଏବଂ b ର ସମାନ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁa+b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ 72 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,-72 -2,-36 -3,-24 -4,-18 -6,-12 -8,-9$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1-72=-73 -2-36=-38 -3-24=-27 -4-18=-22 -6-12=-18 -8-9=-17$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି -27 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-24 b=-3$$

\left(18x^{2}-24x\right)+\left(-3x+4\right) ଭାବରେ 18x^{2}-27x+4 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(18x^{2}-24x\right)+\left(-3x+4\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ 6x ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ -1 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$6x\left(3x-4\right)-\left(3x-4\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ 3x-4 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(3x-4\right)\left(6x-1\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, 3x-4=0 ଏବଂ 6x-1=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{6}$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$18x^{2}-27x+4=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ 18, b ପାଇଁ -27, ଏବଂ c ପାଇଁ 4 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\times 18\times 4}}{2\times 18}$$

ବର୍ଗ -27.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\times 18\times 4}}{2\times 18}$$

-4 କୁ 18 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-72\times 4}}{2\times 18}$$

-72 କୁ 4 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-288}}{2\times 18}$$

729 କୁ -288 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

441 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±21}{2\times 18}$$

-27 ର ବିପରୀତ ହେଉଛି 27.

$$x=\frac{27±21}{2\times 18}$$

2 କୁ 18 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{27±21}{36}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{27±21}{36} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 27 କୁ 21 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{48}{36}$$

12 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{48}{36} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{4}{3}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{27±21}{36} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 27 ରୁ 21 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{6}{36}$$

6 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{6}{36} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{1}{6}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{6}$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଯେପରିକି ଏହି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ ପ୍ରଥମେ x^{2}+bx=c ପ୍ରକାରେ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ.

$$18x^{2}-27x+4=0$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 4 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$18x^{2}-27x+4-4=-4$$

ସଂପୃକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାରୁ ସେହି 4 ବିୟୋଗ କରିବାରେ 0 ମିଳିଥାଏ.

$$18x^{2}-27x=-4$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 18 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{18x^{2}-27x}{18}=-\frac{4}{18}$$

18 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା 18 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+\left(-\frac{27}{18}\right)x=-\frac{4}{18}$$

9 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{-27}{18} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{4}{18}$$

2 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{-4}{18} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{2}{9}$$

-\frac{3}{4} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, -\frac{3}{2} କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ -\frac{3}{4} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{3}{4} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{2}{9}+\frac{9}{16}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{9}{16} ସହିତ -\frac{2}{9} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{49}{144}$$

ଗୁଣନୀୟକ x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{3}{4}=-\frac{7}{12}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{3}{4} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{6}$$