14y^2-3y-5 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$14 y ^ { 2 } - 3 y - 5$$

ଗୁଣକ

$$\left(7y-5\right)\left(2y+1\right)$$

ସମାଧାନ କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରିବା ଦ୍ୱାରା ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି 14y^{2}+ay+by-5 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=-3 ab=14\left(-5\right)=-70$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -70 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$1,-70 2,-35 5,-14 7,-10$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$1-70=-69 2-35=-33 5-14=-9 7-10=-3$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି -3 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-10 b=7$$

\left(14y^{2}-10y\right)+\left(7y-5\right) ଭାବରେ 14y^{2}-3y-5 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(14y^{2}-10y\right)+\left(7y-5\right)$$

14y^{2}-10yରେ 2y ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$2y\left(7y-5\right)+7y-5$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ 7y-5 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(7y-5\right)\left(2y+1\right)$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଟ୍ରାନ୍ସଫର୍ମେସନ୍‌ ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)ବ୍ୟବହାର କରି କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌‌କୁ ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ କରାଯାଇପାରିବ, ଯେଉଁଠାରେ x_{1} ଏବଂ x_{2} ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ax^{2}+bx+c=0 ର ସମାଧାନ ଅଟେ.

$$14y^{2}-3y-5=0$$

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 14\left(-5\right)}}{2\times 14}$$

ବର୍ଗ -3.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 14\left(-5\right)}}{2\times 14}$$

-4 କୁ 14 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-56\left(-5\right)}}{2\times 14}$$

-56 କୁ -5 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+280}}{2\times 14}$$

9 କୁ 280 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{289}}{2\times 14}$$

289 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±17}{2\times 14}$$

-3 ର ବିପରୀତ ହେଉଛି 3.

$$y=\frac{3±17}{2\times 14}$$

2 କୁ 14 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{3±17}{28}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ y=\frac{3±17}{28} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 3 କୁ 17 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=\frac{20}{28}$$

4 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{20}{28} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{5}{7}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ y=\frac{3±17}{28} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 3 ରୁ 17 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y=-\frac{14}{28}$$

14 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{-14}{28} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$y=-\frac{1}{2}$$

ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) ବ୍ୟବାହର କରି ମୂଳ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିର ଗୁଣକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ. x_{1} ପାଇଁ \frac{5}{7} ଏବଂ x_{2} ପାଇଁ -\frac{1}{2} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$14y^{2}-3y-5=14\left(y-\frac{5}{7}\right)\left(y-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

ଫର୍ମ p-\left(-q\right) ରୁ p+q ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମସ୍ତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିଗୁଡିକ ସରଳୀକୃତ କରନ୍ତୁ.

$$14y^{2}-3y-5=14\left(y-\frac{5}{7}\right)\left(y+\frac{1}{2}\right)$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା y ରୁ \frac{5}{7} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$14y^{2}-3y-5=14\times \frac{7y-5}{7}\left(y+\frac{1}{2}\right)$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା y ସହିତ \frac{1}{2} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$14y^{2}-3y-5=14\times \frac{7y-5}{7}\times \frac{2y+1}{2}$$

ଲବ ଯେତେ ଥର ରହିଛି ଲବ ସହିତ ଏବଂ ହର ଯେତେ ଥର ରହିଛି ହର ସହିତ ଗୁଣନ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{7y-5}{7} କୁ \frac{2y+1}{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$14y^{2}-3y-5=14\times \frac{\left(7y-5\right)\left(2y+1\right)}{7\times 2}$$

7 କୁ 2 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$14y^{2}-3y-5=14\times \frac{\left(7y-5\right)\left(2y+1\right)}{14}$$

14 ଏବଂ 14 ରେ ଗରିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣନିୟକ 14 ବାତିଲ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$14y^{2}-3y-5=\left(7y-5\right)\left(2y+1\right)$$

ମୂଲ୍ୟାୟନ କରିବା

$$\left(7y-5\right)\left(2y+1\right)$$