14x^2+3x-2=0 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$14 x ^ { 2 } + 3 x - 2 = 0$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x=\frac{2}{7}\approx 0.285714286$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ 14x^{2}+ax+bx-2 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=3 ab=14\left(-2\right)=-28$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -28 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି 3 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-4 b=7$$

\left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right) ଭାବରେ 14x^{2}+3x-2 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right)$$

14x^{2}-4xରେ 2x ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x\left(7x-2\right)+7x-2$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ 7x-2 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(7x-2\right)\left(2x+1\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, 7x-2=0 ଏବଂ 2x+1=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$14x^{2}+3x-2=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ 14, b ପାଇଁ 3, ଏବଂ c ପାଇଁ -2 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

ବର୍ଗ 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

-4 କୁ 14 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-56\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

-56 କୁ -2 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\times 14}$$

9 କୁ 112 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\times 14}$$

121 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-3±11}{2\times 14}$$

2 କୁ 14 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-3±11}{28}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-3±11}{28} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -3 କୁ 11 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{8}{28}$$

4 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{8}{28} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{2}{7}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-3±11}{28} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -3 ରୁ 11 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{14}{28}$$

14 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{-14}{28} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{1}{2}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଯେପରିକି ଏହି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ ପ୍ରଥମେ x^{2}+bx=c ପ୍ରକାରେ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ.

$$14x^{2}+3x-2=0$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 2 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$14x^{2}+3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

ସଂପୃକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାରୁ ସେହି -2 ବିୟୋଗ କରିବାରେ 0 ମିଳିଥାଏ.

$$14x^{2}+3x=-\left(-2\right)$$

0 ରୁ -2 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$14x^{2}+3x=2$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 14 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{14x^{2}+3x}{14}=\frac{2}{14}$$

14 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା 14 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{2}{14}$$

2 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{2}{14} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{1}{7}$$

\frac{3}{28} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, \frac{3}{14} କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{3}{28} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{1}{7}+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{3}{28} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{1}{7}+\frac{9}{784}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{9}{784} ସହିତ \frac{1}{7} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{121}{784}$$

ଗୁଣନୀୟକ x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{121}{784}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{784}}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$x+\frac{3}{28}=\frac{11}{28} x+\frac{3}{28}=-\frac{11}{28}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{3}{28} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$