1034=x^2+30x-110 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$1034 = x ^ { 2 } + 30 x - 110$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=-52$$

$$x=22$$

ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$x^{2}+30x-110=1034$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 1034 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+30x-110-1034=0$$

-1144 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -110 ଏବଂ 1034 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+30x-1144=0$$

ସମୀକରଣକୁ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ସୂତ୍ର x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) ବ୍ୟବହାର କରି x^{2}+30x-1144 ର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=30 ab=-1144$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -1144 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,1144 -2,572 -4,286 -8,143 -11,104 -13,88 -22,52 -26,44$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1+1144=1143 -2+572=570 -4+286=282 -8+143=135 -11+104=93 -13+88=75 -22+52=30 -26+44=18$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି 30 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-22 b=52$$

ପ୍ରାପ୍ତ ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରି ଫ୍ୟାକ୍ଟରଯୁକ୍ତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି \left(x+a\right)\left(x+b\right) ପୁନଃଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(x-22\right)\left(x+52\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, x-22=0 ଏବଂ x+52=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x=22 x=-52$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$x^{2}+30x-110=1034$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 1034 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+30x-110-1034=0$$

-1144 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -110 ଏବଂ 1034 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+30x-1144=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ x^{2}+ax+bx-1144 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=30 ab=1\left(-1144\right)=-1144$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -1144 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,1144 -2,572 -4,286 -8,143 -11,104 -13,88 -22,52 -26,44$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1+1144=1143 -2+572=570 -4+286=282 -8+143=135 -11+104=93 -13+88=75 -22+52=30 -26+44=18$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି 30 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-22 b=52$$

\left(x^{2}-22x\right)+\left(52x-1144\right) ଭାବରେ x^{2}+30x-1144 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(x^{2}-22x\right)+\left(52x-1144\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ x ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ 52 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x\left(x-22\right)+52\left(x-22\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ x-22 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(x-22\right)\left(x+52\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, x-22=0 ଏବଂ x+52=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x=22 x=-52$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$x^{2}+30x-110=1034$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 1034 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+30x-110-1034=0$$

-1144 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -110 ଏବଂ 1034 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+30x-1144=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ 1, b ପାଇଁ 30, ଏବଂ c ପାଇଁ -1144 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-1144\right)}}{2}$$

ବର୍ଗ 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-1144\right)}}{2}$$

-4 କୁ -1144 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+4576}}{2}$$

900 କୁ 4576 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-30±\sqrt{5476}}{2}$$

5476 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-30±74}{2}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-30±74}{2} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -30 କୁ 74 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{44}{2}$$

44 କୁ 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=22$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-30±74}{2} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -30 ରୁ 74 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{104}{2}$$

-104 କୁ 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-52$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=22 x=-52$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$x^{2}+30x-110=1034$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 110 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x^{2}+30x=1034+110$$

1144 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 1034 ଏବଂ 110 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+30x=1144$$

15 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, 30 କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 15 ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+30x+15^{2}=1144+15^{2}$$

ବର୍ଗ 15.

$$x^{2}+30x+225=1144+225$$

1144 କୁ 225 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x^{2}+30x+225=1369$$

ଗୁଣନୀୟକ x^{2}+30x+225. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(x+15\right)^{2}=1369$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(x+15\right)^{2}}=\sqrt{1369}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$x+15=37 x+15=-37$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 15 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=22 x=-52$$