10a^2-13a-3 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$10 a ^ { 2 } - 13 a - 3$$

ଗୁଣକ

$$\left(2a-3\right)\left(5a+1\right)$$

ସମାଧାନ କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରିବା ଦ୍ୱାରା ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି 10a^{2}+pa+qa-3 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. p ଏବଂ q ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$p+q=-13 pq=10\left(-3\right)=-30$$

ଯେହେତୁ pq ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ p ଏବଂ q ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ p+q ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -30 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି -13 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$p=-15 q=2$$

\left(10a^{2}-15a\right)+\left(2a-3\right) ଭାବରେ 10a^{2}-13a-3 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(10a^{2}-15a\right)+\left(2a-3\right)$$

10a^{2}-15aରେ 5a ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$5a\left(2a-3\right)+2a-3$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ 2a-3 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(2a-3\right)\left(5a+1\right)$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଟ୍ରାନ୍ସଫର୍ମେସନ୍‌ ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)ବ୍ୟବହାର କରି କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌‌କୁ ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ କରାଯାଇପାରିବ, ଯେଉଁଠାରେ x_{1} ଏବଂ x_{2} ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ax^{2}+bx+c=0 ର ସମାଧାନ ଅଟେ.

$$10a^{2}-13a-3=0$$

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$a=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 10\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

ବର୍ଗ -13.

$$a=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 10\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

-4 କୁ 10 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$a=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-40\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

-40 କୁ -3 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$a=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+120}}{2\times 10}$$

169 କୁ 120 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$a=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{289}}{2\times 10}$$

289 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$a=\frac{-\left(-13\right)±17}{2\times 10}$$

-13 ର ବିପରୀତ ହେଉଛି 13.

$$a=\frac{13±17}{2\times 10}$$

2 କୁ 10 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$a=\frac{13±17}{20}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ a=\frac{13±17}{20} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 13 କୁ 17 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$a=\frac{30}{20}$$

10 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{30}{20} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$a=\frac{3}{2}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ a=\frac{13±17}{20} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 13 ରୁ 17 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$a=-\frac{4}{20}$$

4 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{-4}{20} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$a=-\frac{1}{5}$$

ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) ବ୍ୟବାହର କରି ମୂଳ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିର ଗୁଣକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ. x_{1} ପାଇଁ \frac{3}{2} ଏବଂ x_{2} ପାଇଁ -\frac{1}{5} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$10a^{2}-13a-3=10\left(a-\frac{3}{2}\right)\left(a-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)$$

ଫର୍ମ p-\left(-q\right) ରୁ p+q ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମସ୍ତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିଗୁଡିକ ସରଳୀକୃତ କରନ୍ତୁ.

$$10a^{2}-13a-3=10\left(a-\frac{3}{2}\right)\left(a+\frac{1}{5}\right)$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା a ରୁ \frac{3}{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$10a^{2}-13a-3=10\times \frac{2a-3}{2}\left(a+\frac{1}{5}\right)$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା a ସହିତ \frac{1}{5} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$10a^{2}-13a-3=10\times \frac{2a-3}{2}\times \frac{5a+1}{5}$$

ଲବ ଯେତେ ଥର ରହିଛି ଲବ ସହିତ ଏବଂ ହର ଯେତେ ଥର ରହିଛି ହର ସହିତ ଗୁଣନ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{2a-3}{2} କୁ \frac{5a+1}{5} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$10a^{2}-13a-3=10\times \frac{\left(2a-3\right)\left(5a+1\right)}{2\times 5}$$

2 କୁ 5 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$10a^{2}-13a-3=10\times \frac{\left(2a-3\right)\left(5a+1\right)}{10}$$

10 ଏବଂ 10 ରେ ଗରିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣନିୟକ 10 ବାତିଲ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$10a^{2}-13a-3=\left(2a-3\right)\left(5a+1\right)$$

ମୂଲ୍ୟାୟନ କରିବା

$$\left(2a-3\right)\left(5a+1\right)$$