0=30x^2+11x-30 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$0 = 30 x ^ { 2 } + 11 x - 30$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$30x^{2}+11x-30=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ 30x^{2}+ax+bx-30 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=11 ab=30\left(-30\right)=-900$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -900 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,900 -2,450 -3,300 -4,225 -5,180 -6,150 -9,100 -10,90 -12,75 -15,60 -18,50 -20,45 -25,36 -30,30$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1+900=899 -2+450=448 -3+300=297 -4+225=221 -5+180=175 -6+150=144 -9+100=91 -10+90=80 -12+75=63 -15+60=45 -18+50=32 -20+45=25 -25+36=11 -30+30=0$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି 11 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-25 b=36$$

\left(30x^{2}-25x\right)+\left(36x-30\right) ଭାବରେ 30x^{2}+11x-30 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(30x^{2}-25x\right)+\left(36x-30\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ 5x ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ 6 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$5x\left(6x-5\right)+6\left(6x-5\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ 6x-5 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(6x-5\right)\left(5x+6\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, 6x-5=0 ଏବଂ 5x+6=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{6}{5}$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$30x^{2}+11x-30=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ 30, b ପାଇଁ 11, ଏବଂ c ପାଇଁ -30 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 30\left(-30\right)}}{2\times 30}$$

ବର୍ଗ 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 30\left(-30\right)}}{2\times 30}$$

-4 କୁ 30 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120\left(-30\right)}}{2\times 30}$$

-120 କୁ -30 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+3600}}{2\times 30}$$

121 କୁ 3600 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-11±\sqrt{3721}}{2\times 30}$$

3721 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-11±61}{2\times 30}$$

2 କୁ 30 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-11±61}{60}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-11±61}{60} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -11 କୁ 61 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{50}{60}$$

10 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{50}{60} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{5}{6}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-11±61}{60} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -11 ରୁ 61 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{72}{60}$$

12 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{-72}{60} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{6}{5}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{6}{5}$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$30x^{2}+11x-30=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 30 ଯୋଡନ୍ତୁ. ଯାହାକିଛି ସହିତ ଶୂନ୍ୟ ଯୋଗ ହେଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟା ମିଳିଥାଏ.

$$30x^{2}+11x=30$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 30 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{30x^{2}+11x}{30}=\frac{30}{30}$$

30 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା 30 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+\frac{11}{30}x=\frac{30}{30}$$

30 କୁ 30 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+\frac{11}{30}x=1$$

\frac{11}{60} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, \frac{11}{30} କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{11}{60} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+\frac{11}{30}x+\left(\frac{11}{60}\right)^{2}=1+\left(\frac{11}{60}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{11}{60} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+\frac{11}{30}x+\frac{121}{3600}=1+\frac{121}{3600}$$

1 କୁ \frac{121}{3600} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x^{2}+\frac{11}{30}x+\frac{121}{3600}=\frac{3721}{3600}$$

ଗୁଣନୀୟକ x^{2}+\frac{11}{30}x+\frac{121}{3600}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(x+\frac{11}{60}\right)^{2}=\frac{3721}{3600}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{60}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3721}{3600}}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$x+\frac{11}{60}=\frac{61}{60} x+\frac{11}{60}=-\frac{61}{60}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{11}{60} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{6}{5}$$