-2x^2+47x+5=275 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$- 2 x ^ { 2 } + 47 x + 5 = 275$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=10$$

$$x = \frac{27}{2} = 13\frac{1}{2} = 13.5$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 275 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-2x^{2}+47x+5-275=0$$

-270 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 5 ଏବଂ 275 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-2x^{2}+47x-270=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ -2x^{2}+ax+bx-270 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=47 ab=-2\left(-270\right)=540$$

ଯେହେତୁ ab ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, a ଏବଂ b ର ସମାନ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁa+b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ 540 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$1,540 2,270 3,180 4,135 5,108 6,90 9,60 10,54 12,45 15,36 18,30 20,27$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$1+540=541 2+270=272 3+180=183 4+135=139 5+108=113 6+90=96 9+60=69 10+54=64 12+45=57 15+36=51 18+30=48 20+27=47$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି 47 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=27 b=20$$

\left(-2x^{2}+27x\right)+\left(20x-270\right) ଭାବରେ -2x^{2}+47x-270 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(-2x^{2}+27x\right)+\left(20x-270\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ -x ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ 10 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$-x\left(2x-27\right)+10\left(2x-27\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ 2x-27 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(2x-27\right)\left(-x+10\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, 2x-27=0 ଏବଂ -x+10=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{27}{2} x=10$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$-2x^{2}+47x+5=275$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 275 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-2x^{2}+47x+5-275=275-275$$

ସଂପୃକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାରୁ ସେହି 275 ବିୟୋଗ କରିବାରେ 0 ମିଳିଥାଏ.

$$-2x^{2}+47x+5-275=0$$

5 ରୁ 275 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-2x^{2}+47x-270=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ -2, b ପାଇଁ 47, ଏବଂ c ପାଇଁ -270 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\left(-2\right)\left(-270\right)}}{2\left(-2\right)}$$

ବର୍ଗ 47.

$$x=\frac{-47±\sqrt{2209-4\left(-2\right)\left(-270\right)}}{2\left(-2\right)}$$

-4 କୁ -2 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-47±\sqrt{2209+8\left(-270\right)}}{2\left(-2\right)}$$

8 କୁ -270 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-47±\sqrt{2209-2160}}{2\left(-2\right)}$$

2209 କୁ -2160 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-47±\sqrt{49}}{2\left(-2\right)}$$

49 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-47±7}{2\left(-2\right)}$$

2 କୁ -2 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-47±7}{-4}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-47±7}{-4} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -47 କୁ 7 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{40}{-4}$$

-40 କୁ -4 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=10$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-47±7}{-4} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -47 ରୁ 7 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{54}{-4}$$

2 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{-54}{-4} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{27}{2}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=10 x=\frac{27}{2}$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଯେପରିକି ଏହି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ ପ୍ରଥମେ x^{2}+bx=c ପ୍ରକାରେ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ.

$$-2x^{2}+47x+5=275$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 5 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-2x^{2}+47x+5-5=275-5$$

ସଂପୃକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାରୁ ସେହି 5 ବିୟୋଗ କରିବାରେ 0 ମିଳିଥାଏ.

$$-2x^{2}+47x=275-5$$

275 ରୁ 5 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-2x^{2}+47x=270$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{-2x^{2}+47x}{-2}=\frac{270}{-2}$$

-2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା -2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+\frac{47}{-2}x=\frac{270}{-2}$$

47 କୁ -2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x=\frac{270}{-2}$$

270 କୁ -2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x=-135$$

-\frac{47}{4} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, -\frac{47}{2} କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ -\frac{47}{4} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x+\left(-\frac{47}{4}\right)^{2}=-135+\left(-\frac{47}{4}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{47}{4} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x+\frac{2209}{16}=-135+\frac{2209}{16}$$

-135 କୁ \frac{2209}{16} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x+\frac{2209}{16}=\frac{49}{16}$$

ଗୁଣନୀୟକ x^{2}-\frac{47}{2}x+\frac{2209}{16}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(x-\frac{47}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(x-\frac{47}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$x-\frac{47}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{47}{4}=-\frac{7}{4}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{47}{4} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{27}{2} x=10$$