-16t^2+64t+80=128 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$- 16 t ^ { 2 } + 64 t + 80 = 128$$

t ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$t=1$$

$$t=3$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 128 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

-48 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 80 ଏବଂ 128 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 16 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$-t^{2}+4t-3=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ -t^{2}+at+bt-3 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=4 ab=-\left(-3\right)=3$$

ଯେହେତୁ ab ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, a ଏବଂ b ର ସମାନ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁa+b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ. କେବଳ ଏହିଭଳି ଯୋଡା ହେଉଛି ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ.

$$a=3 b=1$$

\left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right) ଭାବରେ -t^{2}+4t-3 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right)$$

-t^{2}+3tରେ -t ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$-t\left(t-3\right)+t-3$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ t-3 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(t-3\right)\left(-t+1\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, t-3=0 ଏବଂ -t+1=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$t=3 t=1$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 128 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-16t^{2}+64t+80-128=128-128$$

ସଂପୃକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାରୁ ସେହି 128 ବିୟୋଗ କରିବାରେ 0 ମିଳିଥାଏ.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

80 ରୁ 128 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ -16, b ପାଇଁ 64, ଏବଂ c ପାଇଁ -48 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$t=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

ବର୍ଗ 64.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

-4 କୁ -16 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096+64\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

64 କୁ -48 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-3072}}{2\left(-16\right)}$$

4096 କୁ -3072 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$t=\frac{-64±\sqrt{1024}}{2\left(-16\right)}$$

1024 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$t=\frac{-64±32}{2\left(-16\right)}$$

2 କୁ -16 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$t=\frac{-64±32}{-32}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ t=\frac{-64±32}{-32} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -64 କୁ 32 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

-32 କୁ -32 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$t=1$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ t=\frac{-64±32}{-32} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -64 ରୁ 32 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$t=-\frac{96}{-32}$$

-96 କୁ -32 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$t=3$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$t=1 t=3$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଯେପରିକି ଏହି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ ପ୍ରଥମେ x^{2}+bx=c ପ୍ରକାରେ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 80 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-16t^{2}+64t+80-80=128-80$$

ସଂପୃକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାରୁ ସେହି 80 ବିୟୋଗ କରିବାରେ 0 ମିଳିଥାଏ.

$$-16t^{2}+64t=128-80$$

128 ରୁ 80 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-16t^{2}+64t=48$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -16 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{-16t^{2}+64t}{-16}=\frac{48}{-16}$$

-16 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା -16 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$t^{2}+\frac{64}{-16}t=\frac{48}{-16}$$

64 କୁ -16 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$t^{2}-4t=\frac{48}{-16}$$

48 କୁ -16 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$t^{2}-4t=-3$$

-2 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, -4 କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ -2 ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$t^{2}-4t+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

ବର୍ଗ -2.

$$t^{2}-4t+4=-3+4$$

-3 କୁ 4 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$t^{2}-4t+4=1$$

ଗୁଣନୀୟକ t^{2}-4t+4. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(t-2\right)^{2}=1$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(t-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$t-2=1 t-2=-1$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 2 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$t=3 t=1$$