-y^2+55y-750=0 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$- { y }^{ 2 } +55y-750=0$$

y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$y=25$$

$$y=30$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ -y^{2}+ay+by-750 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=55 ab=-\left(-750\right)=750$$

ଯେହେତୁ ab ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, a ଏବଂ b ର ସମାନ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁa+b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ 750 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$1,750 2,375 3,250 5,150 6,125 10,75 15,50 25,30$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$1+750=751 2+375=377 3+250=253 5+150=155 6+125=131 10+75=85 15+50=65 25+30=55$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି 55 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=30 b=25$$

\left(-y^{2}+30y\right)+\left(25y-750\right) ଭାବରେ -y^{2}+55y-750 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(-y^{2}+30y\right)+\left(25y-750\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ -y ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ 25 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$-y\left(y-30\right)+25\left(y-30\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ y-30 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(y-30\right)\left(-y+25\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, y-30=0 ଏବଂ -y+25=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$y=30 y=25$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$-y^{2}+55y-750=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ -1, b ପାଇଁ 55, ଏବଂ c ପାଇଁ -750 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-55±\sqrt{55^{2}-4\left(-1\right)\left(-750\right)}}{2\left(-1\right)}$$

ବର୍ଗ 55.

$$y=\frac{-55±\sqrt{3025-4\left(-1\right)\left(-750\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 କୁ -1 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-55±\sqrt{3025+4\left(-750\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4 କୁ -750 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-55±\sqrt{3025-3000}}{2\left(-1\right)}$$

3025 କୁ -3000 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-55±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

25 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-55±5}{2\left(-1\right)}$$

2 କୁ -1 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-55±5}{-2}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ y=\frac{-55±5}{-2} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -55 କୁ 5 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=-\frac{50}{-2}$$

-50 କୁ -2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=25$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ y=\frac{-55±5}{-2} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -55 ରୁ 5 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y=-\frac{60}{-2}$$

-60 କୁ -2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=30$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$y=25 y=30$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଯେପରିକି ଏହି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ ପ୍ରଥମେ x^{2}+bx=c ପ୍ରକାରେ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ.

$$-y^{2}+55y-750=0$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 750 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-y^{2}+55y-750-\left(-750\right)=-\left(-750\right)$$

ସଂପୃକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାରୁ ସେହି -750 ବିୟୋଗ କରିବାରେ 0 ମିଳିଥାଏ.

$$-y^{2}+55y=-\left(-750\right)$$

0 ରୁ -750 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-y^{2}+55y=750$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -1 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{-y^{2}+55y}{-1}=\frac{750}{-1}$$

-1 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା -1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$y^{2}+\frac{55}{-1}y=\frac{750}{-1}$$

55 କୁ -1 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y^{2}-55y=\frac{750}{-1}$$

750 କୁ -1 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y^{2}-55y=-750$$

-\frac{55}{2} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, -55 କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ -\frac{55}{2} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$y^{2}-55y+\left(-\frac{55}{2}\right)^{2}=-750+\left(-\frac{55}{2}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{55}{2} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$y^{2}-55y+\frac{3025}{4}=-750+\frac{3025}{4}$$

-750 କୁ \frac{3025}{4} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y^{2}-55y+\frac{3025}{4}=\frac{25}{4}$$

ଗୁଣନୀୟକ y^{2}-55y+\frac{3025}{4}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(y-\frac{55}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(y-\frac{55}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$y-\frac{55}{2}=\frac{5}{2} y-\frac{55}{2}=-\frac{5}{2}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{55}{2} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=30 y=25$$