(x-1)(x+2)-(2x-3)(x+4)-x+14=0 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$( x - 1 ) ( x + 2 ) - ( 2 x - 3 ) ( x + 4 ) - x + 14 = 0$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=-8$$

$$x=3$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

x-1 କୁ x+2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+x-2-\left(2x-3\right)\left(x+4\right)-x+14=0$$

2x-3 କୁ x+4 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+x-2-\left(2x^{2}+5x-12\right)-x+14=0$$

2x^{2}+5x-12 ର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଆନ୍ତୁ.

$$x^{2}+x-2-2x^{2}-5x+12-x+14=0$$

-x^{2} ପାଇବାକୁ x^{2} ଏବଂ -2x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}+x-2-5x+12-x+14=0$$

-4x ପାଇବାକୁ x ଏବଂ -5x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}-4x-2+12-x+14=0$$

10 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -2 ଏବଂ 12 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}-4x+10-x+14=0$$

-5x ପାଇବାକୁ -4x ଏବଂ -x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}-5x+10+14=0$$

24 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 10 ଏବଂ 14 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}-5x+24=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ -x^{2}+ax+bx+24 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=-5 ab=-24=-24$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -24 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି -5 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=3 b=-8$$

\left(-x^{2}+3x\right)+\left(-8x+24\right) ଭାବରେ -x^{2}-5x+24 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(-8x+24\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ x ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ 8 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x\left(-x+3\right)+8\left(-x+3\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ -x+3 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(-x+3\right)\left(x+8\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, -x+3=0 ଏବଂ x+8=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x=3 x=-8$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

x-1 କୁ x+2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+x-2-\left(2x-3\right)\left(x+4\right)-x+14=0$$

2x-3 କୁ x+4 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+x-2-\left(2x^{2}+5x-12\right)-x+14=0$$

2x^{2}+5x-12 ର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଆନ୍ତୁ.

$$x^{2}+x-2-2x^{2}-5x+12-x+14=0$$

-x^{2} ପାଇବାକୁ x^{2} ଏବଂ -2x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}+x-2-5x+12-x+14=0$$

-4x ପାଇବାକୁ x ଏବଂ -5x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}-4x-2+12-x+14=0$$

10 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -2 ଏବଂ 12 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}-4x+10-x+14=0$$

-5x ପାଇବାକୁ -4x ଏବଂ -x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}-5x+10+14=0$$

24 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 10 ଏବଂ 14 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}-5x+24=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ -1, b ପାଇଁ -5, ଏବଂ c ପାଇଁ 24 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

ବର୍ଗ -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

-4 କୁ -1 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

4 କୁ 24 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2\left(-1\right)}$$

25 କୁ 96 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

121 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±11}{2\left(-1\right)}$$

-5 ର ବିପରୀତ ହେଉଛି 5.

$$x=\frac{5±11}{2\left(-1\right)}$$

2 କୁ -1 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{5±11}{-2}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{5±11}{-2} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 5 କୁ 11 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{16}{-2}$$

16 କୁ -2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-8$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{5±11}{-2} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 5 ରୁ 11 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

-6 କୁ -2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=3$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=-8 x=3$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

x-1 କୁ x+2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+x-2-\left(2x-3\right)\left(x+4\right)-x+14=0$$

2x-3 କୁ x+4 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+x-2-\left(2x^{2}+5x-12\right)-x+14=0$$

2x^{2}+5x-12 ର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଆନ୍ତୁ.

$$x^{2}+x-2-2x^{2}-5x+12-x+14=0$$

-x^{2} ପାଇବାକୁ x^{2} ଏବଂ -2x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}+x-2-5x+12-x+14=0$$

-4x ପାଇବାକୁ x ଏବଂ -5x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}-4x-2+12-x+14=0$$

10 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -2 ଏବଂ 12 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}-4x+10-x+14=0$$

-5x ପାଇବାକୁ -4x ଏବଂ -x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}-5x+10+14=0$$

24 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 10 ଏବଂ 14 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}-5x+24=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 24 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ. ଶୂନ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ବିଯୁକ୍ତାତ୍ମକ ରୂପ ମିଳିଥାଏ.

$$-x^{2}-5x=-24$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -1 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{-x^{2}-5x}{-1}=-\frac{24}{-1}$$

-1 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା -1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{-1}\right)x=-\frac{24}{-1}$$

-5 କୁ -1 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+5x=-\frac{24}{-1}$$

-24 କୁ -1 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+5x=24$$

\frac{5}{2} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, 5 କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{5}{2} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{5}{2} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

24 କୁ \frac{25}{4} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

ଗୁଣନୀୟକ x^{2}+5x+\frac{25}{4}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{5}{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=3 x=-8$$