(X+3)/(2X-1)-(5X-1)/(4X+7)=0 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$( X + 3 ) / ( 2 X - 1 ) - ( 5 X - 1 ) / ( 4 X + 7 ) = 0$$

X ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$X=5$$

$$X=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ X ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ -\frac{7}{4},\frac{1}{2} ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ \left(2X-1\right)\left(4X+7\right) ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, 2X-1,4X+7 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$\left(4X+7\right)\left(X+3\right)-\left(2X-1\right)\left(5X-1\right)=0$$

4X+7 କୁ X+3 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$4X^{2}+19X+21-\left(2X-1\right)\left(5X-1\right)=0$$

2X-1 କୁ 5X-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$4X^{2}+19X+21-\left(10X^{2}-7X+1\right)=0$$

10X^{2}-7X+1 ର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଆନ୍ତୁ.

$$4X^{2}+19X+21-10X^{2}+7X-1=0$$

-6X^{2} ପାଇବାକୁ 4X^{2} ଏବଂ -10X^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-6X^{2}+19X+21+7X-1=0$$

26X ପାଇବାକୁ 19X ଏବଂ 7X ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-6X^{2}+26X+21-1=0$$

20 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 21 ଏବଂ 1 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-6X^{2}+26X+20=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$-3X^{2}+13X+10=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ -3X^{2}+aX+bX+10 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=13 ab=-3\times 10=-30$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -30 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି 13 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=15 b=-2$$

\left(-3X^{2}+15X\right)+\left(-2X+10\right) ଭାବରେ -3X^{2}+13X+10 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(-3X^{2}+15X\right)+\left(-2X+10\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ 3X ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ 2 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$3X\left(-X+5\right)+2\left(-X+5\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ -X+5 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(-X+5\right)\left(3X+2\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, -X+5=0 ଏବଂ 3X+2=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$X=5 X=-\frac{2}{3}$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ X ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ -\frac{7}{4},\frac{1}{2} ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ \left(2X-1\right)\left(4X+7\right) ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, 2X-1,4X+7 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$\left(4X+7\right)\left(X+3\right)-\left(2X-1\right)\left(5X-1\right)=0$$

4X+7 କୁ X+3 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$4X^{2}+19X+21-\left(2X-1\right)\left(5X-1\right)=0$$

2X-1 କୁ 5X-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$4X^{2}+19X+21-\left(10X^{2}-7X+1\right)=0$$

10X^{2}-7X+1 ର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଆନ୍ତୁ.

$$4X^{2}+19X+21-10X^{2}+7X-1=0$$

-6X^{2} ପାଇବାକୁ 4X^{2} ଏବଂ -10X^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-6X^{2}+19X+21+7X-1=0$$

26X ପାଇବାକୁ 19X ଏବଂ 7X ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-6X^{2}+26X+21-1=0$$

20 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 21 ଏବଂ 1 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-6X^{2}+26X+20=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ -6, b ପାଇଁ 26, ଏବଂ c ପାଇଁ 20 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$X=\frac{-26±\sqrt{26^{2}-4\left(-6\right)\times 20}}{2\left(-6\right)}$$

ବର୍ଗ 26.

$$X=\frac{-26±\sqrt{676-4\left(-6\right)\times 20}}{2\left(-6\right)}$$

-4 କୁ -6 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$X=\frac{-26±\sqrt{676+24\times 20}}{2\left(-6\right)}$$

24 କୁ 20 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$X=\frac{-26±\sqrt{676+480}}{2\left(-6\right)}$$

676 କୁ 480 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$X=\frac{-26±\sqrt{1156}}{2\left(-6\right)}$$

1156 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$X=\frac{-26±34}{2\left(-6\right)}$$

2 କୁ -6 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$X=\frac{-26±34}{-12}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ X=\frac{-26±34}{-12} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -26 କୁ 34 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$X=\frac{8}{-12}$$

4 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{8}{-12} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$X=-\frac{2}{3}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ X=\frac{-26±34}{-12} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -26 ରୁ 34 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$X=-\frac{60}{-12}$$

-60 କୁ -12 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$X=5$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$X=-\frac{2}{3} X=5$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ X ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ -\frac{7}{4},\frac{1}{2} ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ \left(2X-1\right)\left(4X+7\right) ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, 2X-1,4X+7 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$\left(4X+7\right)\left(X+3\right)-\left(2X-1\right)\left(5X-1\right)=0$$

4X+7 କୁ X+3 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$4X^{2}+19X+21-\left(2X-1\right)\left(5X-1\right)=0$$

2X-1 କୁ 5X-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$4X^{2}+19X+21-\left(10X^{2}-7X+1\right)=0$$

10X^{2}-7X+1 ର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଆନ୍ତୁ.

$$4X^{2}+19X+21-10X^{2}+7X-1=0$$

-6X^{2} ପାଇବାକୁ 4X^{2} ଏବଂ -10X^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-6X^{2}+19X+21+7X-1=0$$

26X ପାଇବାକୁ 19X ଏବଂ 7X ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-6X^{2}+26X+21-1=0$$

20 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 21 ଏବଂ 1 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-6X^{2}+26X+20=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 20 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ. ଶୂନ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ବିଯୁକ୍ତାତ୍ମକ ରୂପ ମିଳିଥାଏ.

$$-6X^{2}+26X=-20$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -6 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{-6X^{2}+26X}{-6}=-\frac{20}{-6}$$

-6 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା -6 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$X^{2}+\frac{26}{-6}X=-\frac{20}{-6}$$

2 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{26}{-6} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$X^{2}-\frac{13}{3}X=-\frac{20}{-6}$$

2 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{-20}{-6} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$X^{2}-\frac{13}{3}X=\frac{10}{3}$$

-\frac{13}{6} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, -\frac{13}{3} କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ -\frac{13}{6} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$X^{2}-\frac{13}{3}X+\left(-\frac{13}{6}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(-\frac{13}{6}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{13}{6} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$X^{2}-\frac{13}{3}X+\frac{169}{36}=\frac{10}{3}+\frac{169}{36}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{169}{36} ସହିତ \frac{10}{3} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$X^{2}-\frac{13}{3}X+\frac{169}{36}=\frac{289}{36}$$

ଗୁଣନୀୟକ X^{2}-\frac{13}{3}X+\frac{169}{36}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(X-\frac{13}{6}\right)^{2}=\frac{289}{36}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(X-\frac{13}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{36}}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$X-\frac{13}{6}=\frac{17}{6} X-\frac{13}{6}=-\frac{17}{6}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{13}{6} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$X=5 X=-\frac{2}{3}$$