(23-x)^2+x^2=17^2 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=8$$

$$x=15$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

\left(23-x\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

2x^{2} ପାଇବାକୁ x^{2} ଏବଂ x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

2 ର 17 ପାୱାର୍‌ ହିସାବ କରନ୍ତୁ ଏବଂ 289 ପ୍ରାପ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 289 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

240 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 529 ଏବଂ 289 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$120-23x+x^{2}=0$$

ଏହାକୁ ଏକ ମାନାଙ୍କ ରୂପେରେ ରଖିବା ପାଇଁ ପଲିନୋମିଆଲକୁ ପୁନଃବ୍ୟବସ୍ଥିତ କରନ୍ତୁ. ବଡରୁ ସାନ ପାୱାର୍‌ କ୍ରମରେ ପଦଗୁଡିକୁ ରଖନ୍ତୁ.

$$x^{2}-23x+120=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ x^{2}+ax+bx+120 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

ଯେହେତୁ ab ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, a ଏବଂ b ର ସମାନ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁa+b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ 120 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି -23 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-15 b=-8$$

\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right) ଭାବରେ x^{2}-23x+120 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ x ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ -8 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ x-15 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, x-15=0 ଏବଂ x-8=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x=15 x=8$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

\left(23-x\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

2x^{2} ପାଇବାକୁ x^{2} ଏବଂ x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

2 ର 17 ପାୱାର୍‌ ହିସାବ କରନ୍ତୁ ଏବଂ 289 ପ୍ରାପ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 289 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

240 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 529 ଏବଂ 289 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ 2, b ପାଇଁ -46, ଏବଂ c ପାଇଁ 240 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

ବର୍ଗ -46.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

-4 କୁ 2 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

-8 କୁ 240 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

2116 କୁ -1920 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

196 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

-46 ର ବିପରୀତ ହେଉଛି 46.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

2 କୁ 2 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{46±14}{4} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 46 କୁ 14 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{60}{4}$$

60 କୁ 4 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=15$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{46±14}{4} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 46 ରୁ 14 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{32}{4}$$

32 କୁ 4 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=8$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=15 x=8$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

\left(23-x\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

2x^{2} ପାଇବାକୁ x^{2} ଏବଂ x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

2 ର 17 ପାୱାର୍‌ ହିସାବ କରନ୍ତୁ ଏବଂ 289 ପ୍ରାପ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 529 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

-240 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 289 ଏବଂ 529 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଯେପରିକି ଏହି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ ପ୍ରଥମେ x^{2}+bx=c ପ୍ରକାରେ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ.

$$2x^{2}-46x=-240$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା 2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

-46 କୁ 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

-240 କୁ 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-23x=-120$$

-\frac{23}{2} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, -23 କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ -\frac{23}{2} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{23}{2} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

-120 କୁ \frac{529}{4} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

ଗୁଣନୀୟକ x^{2}-23x+\frac{529}{4}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{23}{2} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=15 x=8$$