(2x-3)^2-(x+5)^2=-23 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$x=7$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

\left(2x-3\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

\left(x+5\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

x^{2}+10x+25 ର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଆନ୍ତୁ.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

3x^{2} ପାଇବାକୁ 4x^{2} ଏବଂ -x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

-22x ପାଇବାକୁ -12x ଏବଂ -10x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

-16 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 9 ଏବଂ 25 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 23 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

7 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -16 ଏବଂ 23 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ 3x^{2}+ax+bx+7 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

ଯେହେତୁ ab ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, a ଏବଂ b ର ସମାନ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁa+b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ 21 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,-21 -3,-7$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି -22 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-21 b=-1$$

\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right) ଭାବରେ 3x^{2}-22x+7 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ 3x ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ -1 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ x-7 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, x-7=0 ଏବଂ 3x-1=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

\left(2x-3\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

\left(x+5\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

x^{2}+10x+25 ର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଆନ୍ତୁ.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

3x^{2} ପାଇବାକୁ 4x^{2} ଏବଂ -x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

-22x ପାଇବାକୁ -12x ଏବଂ -10x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

-16 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 9 ଏବଂ 25 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 23 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

7 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -16 ଏବଂ 23 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ 3, b ପାଇଁ -22, ଏବଂ c ପାଇଁ 7 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

ବର୍ଗ -22.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

-4 କୁ 3 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

-12 କୁ 7 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

484 କୁ -84 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

400 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

-22 ର ବିପରୀତ ହେଉଛି 22.

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

2 କୁ 3 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{22±20}{6}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{22±20}{6} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 22 କୁ 20 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{42}{6}$$

42 କୁ 6 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=7$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{22±20}{6} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 22 ରୁ 20 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{2}{6}$$

2 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{2}{6} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{1}{3}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

\left(2x-3\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

\left(x+5\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

x^{2}+10x+25 ର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଆନ୍ତୁ.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

3x^{2} ପାଇବାକୁ 4x^{2} ଏବଂ -x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

-22x ପାଇବାକୁ -12x ଏବଂ -10x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

-16 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 9 ଏବଂ 25 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 16 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

-7 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -23 ଏବଂ 16 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$3x^{2}-22x=-7$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା 3 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

-\frac{11}{3} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, -\frac{22}{3} କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ -\frac{11}{3} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{11}{3} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{121}{9} ସହିତ -\frac{7}{3} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

ଗୁଣନୀୟକ x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{11}{3} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$