(2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16) କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=-7$$

$$x=4$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

2x+3 କୁ x^{2}-16 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

x-4 କୁ x+40 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

4x^{2} ପାଇବାକୁ 3x^{2} ଏବଂ x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

4x ପାଇବାକୁ -32x ଏବଂ 36x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

-208 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -48 ଏବଂ 160 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

2 କୁ x-4 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

2x-8 କୁ x^{2}-16 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 2x^{3} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

0 ପାଇବାକୁ 2x^{3} ଏବଂ -2x^{3} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 32x ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

36x ପାଇବାକୁ 4x ଏବଂ 32x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 8x^{2} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

12x^{2} ପାଇବାକୁ 4x^{2} ଏବଂ 8x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 128 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

-336 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -208 ଏବଂ 128 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 12 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$3x+x^{2}-28=0$$

ଏହାକୁ ଏକ ମାନାଙ୍କ ରୂପେରେ ରଖିବା ପାଇଁ ପଲିନୋମିଆଲକୁ ପୁନଃବ୍ୟବସ୍ଥିତ କରନ୍ତୁ. ବଡରୁ ସାନ ପାୱାର୍‌ କ୍ରମରେ ପଦଗୁଡିକୁ ରଖନ୍ତୁ.

$$x^{2}+3x-28=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ x^{2}+ax+bx-28 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -28 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି 3 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-4 b=7$$

\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right) ଭାବରେ x^{2}+3x-28 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ x ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ 7 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ x-4 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, x-4=0 ଏବଂ x+7=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x=4 x=-7$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

2x+3 କୁ x^{2}-16 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

x-4 କୁ x+40 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

4x^{2} ପାଇବାକୁ 3x^{2} ଏବଂ x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

4x ପାଇବାକୁ -32x ଏବଂ 36x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

-208 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -48 ଏବଂ 160 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

2 କୁ x-4 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

2x-8 କୁ x^{2}-16 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 2x^{3} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

0 ପାଇବାକୁ 2x^{3} ଏବଂ -2x^{3} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 32x ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

36x ପାଇବାକୁ 4x ଏବଂ 32x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 8x^{2} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

12x^{2} ପାଇବାକୁ 4x^{2} ଏବଂ 8x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 128 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

-336 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -208 ଏବଂ 128 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ 12, b ପାଇଁ 36, ଏବଂ c ପାଇଁ -336 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

ବର୍ଗ 36.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

-4 କୁ 12 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

-48 କୁ -336 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

1296 କୁ 16128 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

17424 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

2 କୁ 12 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-36±132}{24} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -36 କୁ 132 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{96}{24}$$

96 କୁ 24 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=4$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-36±132}{24} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -36 ରୁ 132 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{168}{24}$$

-168 କୁ 24 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-7$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=4 x=-7$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

2x+3 କୁ x^{2}-16 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

x-4 କୁ x+40 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

4x^{2} ପାଇବାକୁ 3x^{2} ଏବଂ x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

4x ପାଇବାକୁ -32x ଏବଂ 36x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

-208 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -48 ଏବଂ 160 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

2 କୁ x-4 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

2x-8 କୁ x^{2}-16 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 2x^{3} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

0 ପାଇବାକୁ 2x^{3} ଏବଂ -2x^{3} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 32x ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

36x ପାଇବାକୁ 4x ଏବଂ 32x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 8x^{2} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

12x^{2} ପାଇବାକୁ 4x^{2} ଏବଂ 8x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 208 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

336 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 128 ଏବଂ 208 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$36x+12x^{2}=336$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଯେପରିକି ଏହି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ ପ୍ରଥମେ x^{2}+bx=c ପ୍ରକାରେ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ.

$$12x^{2}+36x=336$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 12 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

12 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା 12 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

36 କୁ 12 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

336 କୁ 12 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+3x=28$$

\frac{3}{2} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, 3 କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{3}{2} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{3}{2} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

28 କୁ \frac{9}{4} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

ଗୁଣନୀୟକ x^{2}+3x+\frac{9}{4}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{3}{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=4 x=-7$$