(2x+3)^2-15^2=10^2-(x-1)^2 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$( 2 x + 3 ) ^ { 2 } - 15 ^ { 2 } = 10 ^ { 2 } - ( x - 1 ) ^ { 2 }$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=-9$$

$$x=7$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

\left(2x+3\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

2 ର 15 ପାୱାର୍‌ ହିସାବ କରନ୍ତୁ ଏବଂ 225 ପ୍ରାପ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

-216 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 9 ଏବଂ 225 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

2 ର 10 ପାୱାର୍‌ ହିସାବ କରନ୍ତୁ ଏବଂ 100 ପ୍ରାପ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

\left(x-1\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

x^{2}-2x+1 ର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଆନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

99 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 100 ଏବଂ 1 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 99 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+12x-216-99=-x^{2}+2x$$

-315 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -216 ଏବଂ 99 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+12x-315=-x^{2}+2x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ x^{2} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+12x-315+x^{2}=2x$$

5x^{2} ପାଇବାକୁ 4x^{2} ଏବଂ x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$5x^{2}+12x-315=2x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 2x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$5x^{2}+12x-315-2x=0$$

10x ପାଇବାକୁ 12x ଏବଂ -2x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$5x^{2}+10x-315=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 5 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+2x-63=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ x^{2}+ax+bx-63 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=2 ab=1\left(-63\right)=-63$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -63 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି 2 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-7 b=9$$

\left(x^{2}-7x\right)+\left(9x-63\right) ଭାବରେ x^{2}+2x-63 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(9x-63\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ x ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ 9 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x\left(x-7\right)+9\left(x-7\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ x-7 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(x-7\right)\left(x+9\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, x-7=0 ଏବଂ x+9=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x=7 x=-9$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

\left(2x+3\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

2 ର 15 ପାୱାର୍‌ ହିସାବ କରନ୍ତୁ ଏବଂ 225 ପ୍ରାପ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

-216 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 9 ଏବଂ 225 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

2 ର 10 ପାୱାର୍‌ ହିସାବ କରନ୍ତୁ ଏବଂ 100 ପ୍ରାପ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

\left(x-1\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

x^{2}-2x+1 ର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଆନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

99 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 100 ଏବଂ 1 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 99 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+12x-216-99=-x^{2}+2x$$

-315 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -216 ଏବଂ 99 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+12x-315=-x^{2}+2x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ x^{2} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+12x-315+x^{2}=2x$$

5x^{2} ପାଇବାକୁ 4x^{2} ଏବଂ x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$5x^{2}+12x-315=2x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 2x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$5x^{2}+12x-315-2x=0$$

10x ପାଇବାକୁ 12x ଏବଂ -2x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$5x^{2}+10x-315=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ 5, b ପାଇଁ 10, ଏବଂ c ପାଇଁ -315 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

ବର୍ଗ 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

-4 କୁ 5 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

-20 କୁ -315 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+6300}}{2\times 5}$$

100 କୁ 6300 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-10±\sqrt{6400}}{2\times 5}$$

6400 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-10±80}{2\times 5}$$

2 କୁ 5 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-10±80}{10}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-10±80}{10} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -10 କୁ 80 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{70}{10}$$

70 କୁ 10 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=7$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-10±80}{10} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -10 ରୁ 80 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{90}{10}$$

-90 କୁ 10 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-9$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=7 x=-9$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

\left(2x+3\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

2 ର 15 ପାୱାର୍‌ ହିସାବ କରନ୍ତୁ ଏବଂ 225 ପ୍ରାପ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

-216 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 9 ଏବଂ 225 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

2 ର 10 ପାୱାର୍‌ ହିସାବ କରନ୍ତୁ ଏବଂ 100 ପ୍ରାପ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

\left(x-1\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

x^{2}-2x+1 ର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଆନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

99 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 100 ଏବଂ 1 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ x^{2} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+12x-216+x^{2}=99+2x$$

5x^{2} ପାଇବାକୁ 4x^{2} ଏବଂ x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$5x^{2}+12x-216=99+2x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 2x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$5x^{2}+12x-216-2x=99$$

10x ପାଇବାକୁ 12x ଏବଂ -2x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$5x^{2}+10x-216=99$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 216 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$5x^{2}+10x=99+216$$

315 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 99 ଏବଂ 216 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$5x^{2}+10x=315$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 5 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{315}{5}$$

5 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା 5 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{315}{5}$$

10 କୁ 5 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+2x=\frac{315}{5}$$

315 କୁ 5 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+2x=63$$

1 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, 2 କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 1 ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+2x+1^{2}=63+1^{2}$$

ବର୍ଗ 1.

$$x^{2}+2x+1=63+1$$

63 କୁ 1 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x^{2}+2x+1=64$$

ଗୁଣନୀୟକ x^{2}+2x+1. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(x+1\right)^{2}=64$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$x+1=8 x+1=-8$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 1 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=7 x=-9$$