(100)^2+(x+100)^2=(2x+100)^2 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$( 100 ) ^ { 2 } + ( x + 100 ) ^ { 2 } = ( 2 x + 100 ) ^ { 2 }$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3} \approx 33.333333333$$

$$x=-100$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

2 ର 100 ପାୱାର୍‌ ହିସାବ କରନ୍ତୁ ଏବଂ 10000 ପ୍ରାପ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

\left(x+100\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

20000 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 10000 ଏବଂ 10000 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

\left(2x+100\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 4x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

-3x^{2} ପାଇବାକୁ x^{2} ଏବଂ -4x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 400x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

-200x ପାଇବାକୁ 200x ଏବଂ -400x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 10000 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

10000 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 20000 ଏବଂ 10000 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

ଏହାକୁ ଏକ ମାନାଙ୍କ ରୂପେରେ ରଖିବା ପାଇଁ ପଲିନୋମିଆଲକୁ ପୁନଃବ୍ୟବସ୍ଥିତ କରନ୍ତୁ. ବଡରୁ ସାନ ପାୱାର୍‌ କ୍ରମରେ ପଦଗୁଡିକୁ ରଖନ୍ତୁ.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ -3x^{2}+ax+bx+10000 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=-200 ab=-3\times 10000=-30000$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -30000 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$1,-30000 2,-15000 3,-10000 4,-7500 5,-6000 6,-5000 8,-3750 10,-3000 12,-2500 15,-2000 16,-1875 20,-1500 24,-1250 25,-1200 30,-1000 40,-750 48,-625 50,-600 60,-500 75,-400 80,-375 100,-300 120,-250 125,-240 150,-200$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$1-30000=-29999 2-15000=-14998 3-10000=-9997 4-7500=-7496 5-6000=-5995 6-5000=-4994 8-3750=-3742 10-3000=-2990 12-2500=-2488 15-2000=-1985 16-1875=-1859 20-1500=-1480 24-1250=-1226 25-1200=-1175 30-1000=-970 40-750=-710 48-625=-577 50-600=-550 60-500=-440 75-400=-325 80-375=-295 100-300=-200 120-250=-130 125-240=-115 150-200=-50$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି -200 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=100 b=-300$$

\left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right) ଭାବରେ -3x^{2}-200x+10000 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ -x ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ -100 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$-x\left(3x-100\right)-100\left(3x-100\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ 3x-100 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(3x-100\right)\left(-x-100\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, 3x-100=0 ଏବଂ -x-100=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

2 ର 100 ପାୱାର୍‌ ହିସାବ କରନ୍ତୁ ଏବଂ 10000 ପ୍ରାପ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

\left(x+100\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

20000 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 10000 ଏବଂ 10000 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

\left(2x+100\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 4x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

-3x^{2} ପାଇବାକୁ x^{2} ଏବଂ -4x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 400x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

-200x ପାଇବାକୁ 200x ଏବଂ -400x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 10000 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

10000 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 20000 ଏବଂ 10000 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ -3, b ପାଇଁ -200, ଏବଂ c ପାଇଁ 10000 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{\left(-200\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

ବର୍ଗ -200.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

-4 କୁ -3 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+12\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

12 କୁ 10000 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+120000}}{2\left(-3\right)}$$

40000 କୁ 120000 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{160000}}{2\left(-3\right)}$$

160000 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±400}{2\left(-3\right)}$$

-200 ର ବିପରୀତ ହେଉଛି 200.

$$x=\frac{200±400}{2\left(-3\right)}$$

2 କୁ -3 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{200±400}{-6}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{200±400}{-6} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 200 କୁ 400 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{600}{-6}$$

600 କୁ -6 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-100$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{200±400}{-6} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 200 ରୁ 400 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{200}{-6}$$

2 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{-200}{-6} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{100}{3}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=-100 x=\frac{100}{3}$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

2 ର 100 ପାୱାର୍‌ ହିସାବ କରନ୍ତୁ ଏବଂ 10000 ପ୍ରାପ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

\left(x+100\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

20000 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 10000 ଏବଂ 10000 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

\left(2x+100\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 4x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

-3x^{2} ପାଇବାକୁ x^{2} ଏବଂ -4x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 400x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

-200x ପାଇବାକୁ 200x ଏବଂ -400x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 20000 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-3x^{2}-200x=10000-20000$$

-10000 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 10000 ଏବଂ 20000 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-3x^{2}-200x=-10000$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{-3x^{2}-200x}{-3}=-\frac{10000}{-3}$$

-3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା -3 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+\left(-\frac{200}{-3}\right)x=-\frac{10000}{-3}$$

-200 କୁ -3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=-\frac{10000}{-3}$$

-10000 କୁ -3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{10000}{3}$$

\frac{100}{3} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, \frac{200}{3} କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{100}{3} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{10000}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{100}{3} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{10000}{3}+\frac{10000}{9}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{10000}{9} ସହିତ \frac{10000}{3} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{40000}{9}$$

ଗୁଣନୀୟକ x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{40000}{9}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40000}{9}}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{200}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{200}{3}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{100}{3} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$