y^2-15y=-54 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$y=6$$

$$y=9$$

ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 54 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y^{2}-15y+54=0$$

ସମୀକରଣକୁ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ସୂତ୍ର y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) ବ୍ୟବହାର କରି y^{2}-15y+54 ର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=-15 ab=54$$

ଯେହେତୁ ab ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, a ଏବଂ b ର ସମାନ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁa+b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ 54 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି -15 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-9 b=-6$$

ପ୍ରାପ୍ତ ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରି ଫ୍ୟାକ୍ଟରଯୁକ୍ତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି \left(y+a\right)\left(y+b\right) ପୁନଃଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, y-9=0 ଏବଂ y-6=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$y=9 y=6$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 54 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y^{2}-15y+54=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ y^{2}+ay+by+54 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

ଯେହେତୁ ab ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, a ଏବଂ b ର ସମାନ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁa+b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ 54 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି -15 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-9 b=-6$$

\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right) ଭାବରେ y^{2}-15y+54 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ y ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ -6 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ y-9 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, y-9=0 ଏବଂ y-6=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$y=9 y=6$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$y^{2}-15y=-54$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 54 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

ସଂପୃକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାରୁ ସେହି -54 ବିୟୋଗ କରିବାରେ 0 ମିଳିଥାଏ.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

0 ରୁ -54 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y^{2}-15y+54=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ 1, b ପାଇଁ -15, ଏବଂ c ପାଇଁ 54 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

ବର୍ଗ -15.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

-4 କୁ 54 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

225 କୁ -216 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

9 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

-15 ର ବିପରୀତ ହେଉଛି 15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ y=\frac{15±3}{2} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 15 କୁ 3 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=\frac{18}{2}$$

18 କୁ 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=9$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ y=\frac{15±3}{2} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 15 ରୁ 3 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{12}{2}$$

12 କୁ 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=6$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$y=9 y=6$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଯେପରିକି ଏହି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ ପ୍ରଥମେ x^{2}+bx=c ପ୍ରକାରେ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ.

$$y^{2}-15y=-54$$

-\frac{15}{2} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, -15 କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ -\frac{15}{2} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{15}{2} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

-54 କୁ \frac{225}{4} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

ଗୁଣନୀୟକ y^{2}-15y+\frac{225}{4}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{15}{2} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=9 y=6$$