sqrt{5x+1}-sqrt{3x-5}=sqrt{x+1} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\sqrt { 5 x + 1 } - \sqrt { 3 x - 5 } = \sqrt { x + 1 }$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=3$$

ସମାଧାନ କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର୍ଅ ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(\sqrt{5x+1}-\sqrt{3x-5}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}$$

\left(\sqrt{5x+1}-\sqrt{3x-5}\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(\sqrt{5x+1}\right)^{2}-2\sqrt{5x+1}\sqrt{3x-5}+\left(\sqrt{3x-5}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}$$

2 ର \sqrt{5x+1} ପାୱାର୍‌ ହିସାବ କରନ୍ତୁ ଏବଂ 5x+1 ପ୍ରାପ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$5x+1-2\sqrt{5x+1}\sqrt{3x-5}+\left(\sqrt{3x-5}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}$$

2 ର \sqrt{3x-5} ପାୱାର୍‌ ହିସାବ କରନ୍ତୁ ଏବଂ 3x-5 ପ୍ରାପ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$5x+1-2\sqrt{5x+1}\sqrt{3x-5}+3x-5=\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}$$

8x ପାଇବାକୁ 5x ଏବଂ 3x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$8x+1-2\sqrt{5x+1}\sqrt{3x-5}-5=\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}$$

-4 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 1 ଏବଂ 5 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$8x-4-2\sqrt{5x+1}\sqrt{3x-5}=\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}$$

2 ର \sqrt{x+1} ପାୱାର୍‌ ହିସାବ କରନ୍ତୁ ଏବଂ x+1 ପ୍ରାପ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$8x-4-2\sqrt{5x+1}\sqrt{3x-5}=x+1$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 8x-4 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-2\sqrt{5x+1}\sqrt{3x-5}=x+1-\left(8x-4\right)$$

8x-4 ର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଆନ୍ତୁ.

$$-2\sqrt{5x+1}\sqrt{3x-5}=x+1-8x+4$$

-7x ପାଇବାକୁ x ଏବଂ -8x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-2\sqrt{5x+1}\sqrt{3x-5}=-7x+1+4$$

5 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 1 ଏବଂ 4 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-2\sqrt{5x+1}\sqrt{3x-5}=-7x+5$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର୍ଅ ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(-2\sqrt{5x+1}\sqrt{3x-5}\right)^{2}=\left(-7x+5\right)^{2}$$

ବିସ୍ତାର କରନ୍ତୁ \left(-2\sqrt{5x+1}\sqrt{3x-5}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x+1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-5}\right)^{2}=\left(-7x+5\right)^{2}$$

2 ର -2 ପାୱାର୍‌ ହିସାବ କରନ୍ତୁ ଏବଂ 4 ପ୍ରାପ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$4\left(\sqrt{5x+1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-5}\right)^{2}=\left(-7x+5\right)^{2}$$

2 ର \sqrt{5x+1} ପାୱାର୍‌ ହିସାବ କରନ୍ତୁ ଏବଂ 5x+1 ପ୍ରାପ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$4\left(5x+1\right)\left(\sqrt{3x-5}\right)^{2}=\left(-7x+5\right)^{2}$$

2 ର \sqrt{3x-5} ପାୱାର୍‌ ହିସାବ କରନ୍ତୁ ଏବଂ 3x-5 ପ୍ରାପ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$4\left(5x+1\right)\left(3x-5\right)=\left(-7x+5\right)^{2}$$

4 କୁ 5x+1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(20x+4\right)\left(3x-5\right)=\left(-7x+5\right)^{2}$$

20x+4 ର ପ୍ରତିଟି ପଦକୁ 3x-5 ର ପ୍ରତିଟି ପଦ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରି ବିତରଣ ସଂକ୍ରାଣ ଗୁଣଧର୍ମ ପ୍ରୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$60x^{2}-100x+12x-20=\left(-7x+5\right)^{2}$$

-88x ପାଇବାକୁ -100x ଏବଂ 12x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$60x^{2}-88x-20=\left(-7x+5\right)^{2}$$

\left(-7x+5\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$60x^{2}-88x-20=49x^{2}-70x+25$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 49x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$60x^{2}-88x-20-49x^{2}=-70x+25$$

11x^{2} ପାଇବାକୁ 60x^{2} ଏବଂ -49x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$11x^{2}-88x-20=-70x+25$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 70x ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$11x^{2}-88x-20+70x=25$$

-18x ପାଇବାକୁ -88x ଏବଂ 70x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$11x^{2}-18x-20=25$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 25 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$11x^{2}-18x-20-25=0$$

-45 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -20 ଏବଂ 25 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$11x^{2}-18x-45=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ 11x^{2}+ax+bx-45 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=-18 ab=11\left(-45\right)=-495$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -495 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$1,-495 3,-165 5,-99 9,-55 11,-45 15,-33$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$1-495=-494 3-165=-162 5-99=-94 9-55=-46 11-45=-34 15-33=-18$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି -18 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-33 b=15$$

\left(11x^{2}-33x\right)+\left(15x-45\right) ଭାବରେ 11x^{2}-18x-45 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(11x^{2}-33x\right)+\left(15x-45\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ 11x ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ 15 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$11x\left(x-3\right)+15\left(x-3\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ x-3 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(x-3\right)\left(11x+15\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, x-3=0 ଏବଂ 11x+15=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x=3 x=-\frac{15}{11}$$

ସମୀକରଣ \sqrt{5x+1}-\sqrt{3x-5}=\sqrt{x+1} ରେ x ସ୍ଥାନରେ -\frac{15}{11} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ. ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି \sqrt{5\left(-\frac{15}{11}\right)+1} ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇ ନାହିଁ କାରଣ ରେଡିକାଣ୍ଡ ନକାରାତ୍ମକ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ.

$$\sqrt{5\left(-\frac{15}{11}\right)+1}-\sqrt{3\left(-\frac{15}{11}\right)-5}=\sqrt{-\frac{15}{11}+1}$$

ସମୀକରଣ \sqrt{5x+1}-\sqrt{3x-5}=\sqrt{x+1} ରେ x ସ୍ଥାନରେ 3 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$\sqrt{5\times 3+1}-\sqrt{3\times 3-5}=\sqrt{3+1}$$

ସରଳୀକୃତ କରନ୍ତୁ. ମୂଲ୍ୟ x=3 ସମୀକରଣ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରିଛି.

$$2=2$$

ସମୀକରଣ \sqrt{5x+1}-\sqrt{3x-5}=\sqrt{x+1} ଏକ ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=3$$